最大熵模型

1.最大熵模型

终极目标
$P(Y|X)$
熵
$H(P)=-\sum_{x}P(x)\log P(x)$
将终极目标代入熵
$H(P)=-\sum_{x}P(y|x)\log P(y|x)$
做些改变,调整为条件熵
$H(P)=H(y|x)=-\sum_{x}\tilde P(x)P(y|x)\log P(y|x)$
$\tilde P(x)代表经验分布,从训练集中统计出来的$

2.约束条件

$\tilde P(x)(X=x,Y=y)=\frac{v(X=x,Y=y)}{N}$
$\tilde P(x)(X=x)=\frac{v(X=x)}{N}$
$v(X=x,Y=y)表示统计训练集中满足 (X=x,Y=y) 的样本数量$

3.特征函数

$f(x,y)=\begin{cases} 1 , & X与y满足某一事实 0, & 其他 \end{cases}$
$特征函数f(x,y)关于经验分布\tilde P(x,y)的期望值$
$E_{\tilde p}(f)=\sum_{x,y}\tilde P(x,y)f(x,y)=\sum_{x,y}\tilde P(x) \tilde P(y|x)f(x,y)$

4.优化方程

$max_{P\in C}H(P)=-\sum_{x}\tilde P(x)P(y|x)\log P(y|x)$
$s.t.\ E_{\tilde p}(f_i)-E_{p}(f_i)=0,i=1,2,...,n$
$\sum_{y}P(y|x)=1$

$min_{P\in C}H(P)=-\sum_{x}\tilde P(x)\tilde P(y|x)\log P(y|x)$
$s.t.\ E_{\tilde p}(f_i)-E_{p}(f_i)=0,i=1,2,...,n$
$\sum_{y}P(y|x)=1$

5.拉格朗日乘子法