傅里叶系数的衰减率问题

1.案例1

案例
$f(x)=a_0+\sum_k a_k \sin kx + \sum_k b_k \cos kx \( \)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_k e^{ikx}\( \)当k不断增极大,a_k,b_k怎么变化?\( \)c_k极其增大\( \)若k不断减小,高频信号小,信号相对平滑$

\(考虑如下函数\)
\(\delta(x)=\begin{cases} +\infty, & x=0\\ -,& x\ne 0 \end{cases}\)
\(有\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx =1\)

\(做CFT\)
\(\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx\)
\(=e^{-i 2\pi\xi x}|_{x=0}=1\)
\(这里因为有\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)dx =f(0)\)
\(这里说明，如果你在时域空间，如果你能够以\delta的精度去测量信号，那就可以无限准确的测量好,反过来,在频域空间,值处处等于1,那么你没法把这些频率区分开\)
\(这叫海森堡不确定性原理\)
\(\delta 是non-decay 函数\)

案例2-Heaviside function

\(H(x)=\int_{0}^{x}\delta(x^{'})dx^{'}\)
\(H(x)=\begin{cases} 1 & x\ge 0\\ 0 & x<0 \end{cases}\)
\(\mathscr{f}[H(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx\)
\(根据傅里叶逆变换,H(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat H(\xi)e^{i 2\pi\xi x} d\xi\)
\(两边求导得到\delta(x)\)
\(\delta(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat H(\xi)2\pi\xi e^{i 2\pi\xi x} d\xi\)
\(=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat\delta(\xi)e^{i 2\pi\xi x} d\xi\)
\(\hat \delta (\xi) =H(\xi)2\pi i\xi\)
\(\hat H(\xi)=\frac{1}{2\pi i\xi}\)
\(当函数做了一次积分以后，系数随着频率衰减\)