离散采样问题
课程来源
https://www.bilibili.com/video/BV167411N7fE?p=3
1.问题
如果采样是离散的,那么频率是有限宽的,没法采到特别高频率的样本
或者有很高频的样本,你的采样精度不够细的时候,采样数据的信号有多大的可信程度?
2.From CFT to DTFT
Coninuous FT,CFT
\(\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx\)
Discrete-Time FT (DTFT)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)\triangleq \hat g_{DTFT}(\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}g(j\Delta)e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
到底采样的信号和我们真实的信号有多远呢?
CFT原则上就是真实信号
思路
\(将g(j\Delta) 用CFT的逆变换表示\)
Inverse CFT
\(\mathscr{f}^{-1}[\hat g(\xi)](x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi)e^{2\pi i\xi x} d\xi\)
\(则有\)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi^{'})e^{2\pi i\xi^{'} x} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta},两个\xi 不一样用 \xi^{'},\xi 以示区别\)
\(插一句\)
\(之前提到过,因为采样精度不够,有\)
\(x=j \Delta\)
\(-\frac{1}{2 \Delta}\le\xi\le\frac{1}{2\Delta}\)
\(继续推导\)
\(将信号拆成很多个\frac{1}{\Delta}\)
\(则有\)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \int_{\frac{M}{\Delta} - \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{M}{\Delta} + \frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'})e^{2\pi i\xi^{'} x} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta},M\in Z\)
\(=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'} + \frac{M}{\Delta})e^{2\pi i (\xi^{'} +\frac{M}{\Delta}) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
\(=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'} + \frac{M}{\Delta})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
\(这里因为有e^{2\pi i\frac{M}{\Delta}j\Delta}=e^{2\pi iM j}=1,M,j都是整数\)
\(变量代换\)
\(\hat h(\xi^{'})=\hat g(\xi^{'}+\frac{M}{\Delta})\)
\(则\)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\Delta \frac{1}{\Delta}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat h(\xi^{'})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
\(搞了那么复杂做什么呢?\)
\(对比一下DTFT 的逆变换Inverse\ DTFT\)
\(\mathscr{f}_{DTFT}^{-1}[\hat g_{DTFT}(\xi)](j)=\Delta \int_{-\frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g_{DTFT}(\xi)e^{2\pi i \xi j\Delta}d\xi\)
\(\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat h(\xi^{'})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'}\)
\(这两个是一样的\)
\(所以有\)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}h(j\Delta) e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
\(=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat h(\xi)\)
\(=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi+\frac{M}{\Delta})\)
\(结论:\hat g_{DTFT}(\xi)=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi+\frac{M}{\Delta}),\hat g是真实信号,\hat g_{DTFT}(\xi)是离散采样,\xi \in [-\frac{1}{2\Delta},\frac{1}{2\Delta}]\)
\(结论:如果\forall \xi \in |\frac{1}{2\Delta}|,g(\xi)=0,那么你的离散采样等于真实采样,对于\xi 在[-\frac{1}{2\Delta},\frac{1}{2\Delta}] 范围外的,F(g)=0,即没有这样的频率成分??? 这段不太明白老师讲的什么意思\)
\(Nyquist采样定理：\)
A bound limited continuous signal can be sampled and perfectly reconstructed from its samples if the sample frequrecy is more than twice over the signal's maximal frequency
\(如果你的采样频率大于你样本的频率的两倍,那么你可以从这个采样当中完完全全的恢复原信号\)
3.结论
\(信号还原方法\)
\(1.离散采样\)
\(2.DTFT计算傅里叶系数\)
\(3.Inverse DTFT得到时域信号\)
\(结论\)
\(1.因为采样的频率不够,一些高频的信号会混入低频信号中,低频会错误的放大\)
\(2.如果你的采样频率大于2倍的真实信号频率,则可以完全重构原信号\)
这节课的后半段听不明白，知识基础差了点
