离散采样问题

课程来源
https://www.bilibili.com/video/BV167411N7fE?p=3

1.问题

如果采样是离散的,那么频率是有限宽的,没法采到特别高频率的样本
或者有很高频的样本,你的采样精度不够细的时候,采样数据的信号有多大的可信程度?

2.From CFT to DTFT

Coninuous FT,CFT

$\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx$

Discrete-Time FT (DTFT)

$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)\triangleq \hat g_{DTFT}(\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}g(j\Delta)e^{-2\pi i \xi j\Delta}$

到底采样的信号和我们真实的信号有多远呢?
CFT原则上就是真实信号
思路
$将g(j\Delta) 用CFT的逆变换表示$
Inverse CFT
$\mathscr{f}^{-1}[\hat g(\xi)](x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi)e^{2\pi i\xi x} d\xi$
$则有$
$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi^{'})e^{2\pi i\xi^{'} x} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta},两个\xi 不一样用 \xi^{'},\xi 以示区别$

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$插一句$
$之前提到过,因为采样精度不够,有$
$x=j \Delta$
$-\frac{1}{2 \Delta}\le\xi\le\frac{1}{2\Delta}$

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$继续推导$
$将信号拆成很多个\frac{1}{\Delta}$
$则有$
$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \int_{\frac{M}{\Delta} - \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{M}{\Delta} + \frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'})e^{2\pi i\xi^{'} x} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta},M\in Z$
$=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'} + \frac{M}{\Delta})e^{2\pi i (\xi^{'} +\frac{M}{\Delta}) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}$
$=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g(\xi^{'} + \frac{M}{\Delta})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}$
$这里因为有e^{2\pi i\frac{M}{\Delta}j\Delta}=e^{2\pi iM j}=1,M,j都是整数$
$变量代换$
$\hat h(\xi^{'})=\hat g(\xi^{'}+\frac{M}{\Delta})$
$则$
$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}\Delta \frac{1}{\Delta}\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat h(\xi^{'})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'} e^{-2\pi i \xi j\Delta}$
$搞了那么复杂做什么呢?$
$对比一下DTFT 的逆变换Inverse\ DTFT$
$\mathscr{f}_{DTFT}^{-1}[\hat g_{DTFT}(\xi)](j)=\Delta \int_{-\frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g_{DTFT}(\xi)e^{2\pi i \xi j\Delta}d\xi$
$\int_{- \frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat h(\xi^{'})e^{2\pi i (\xi^{'} ) j\Delta} d\xi^{'}$
$这两个是一样的$
$所以有$
$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty}h(j\Delta) e^{-2\pi i \xi j\Delta}$
$=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat h(\xi)$
$=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi+\frac{M}{\Delta})$
$结论:\hat g_{DTFT}(\xi)=\frac{1}{\Delta}\sum_{M=-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi+\frac{M}{\Delta}),\hat g是真实信号,\hat g_{DTFT}(\xi)是离散采样,\xi \in [-\frac{1}{2\Delta},\frac{1}{2\Delta}]$
$结论:如果\forall \xi \in |\frac{1}{2\Delta}|,g(\xi)=0,那么你的离散采样等于真实采样,对于\xi 在[-\frac{1}{2\Delta},\frac{1}{2\Delta}] 范围外的,F(g)=0,即没有这样的频率成分??? 这段不太明白老师讲的什么意思$
$Nyquist采样定理：$
A bound limited continuous signal can be sampled and perfectly reconstructed from its samples if the sample frequrecy is more than twice over the signal's maximal frequency
$如果你的采样频率大于你样本的频率的两倍,那么你可以从这个采样当中完完全全的恢复原信号$

3.结论

$信号还原方法$
$1.离散采样$
$2.DTFT计算傅里叶系数$
$3.Inverse DTFT得到时域信号$

$结论$
$1.因为采样的频率不够,一些高频的信号会混入低频信号中,低频会错误的放大$
$2.如果你的采样频率大于2倍的真实信号频率,则可以完全重构原信号$

这节课的后半段听不明白，知识基础差了点