傅里叶变换

材料准备

https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7Bp

https://www.bilibili.com/video/BV167411N7fE?p=2

1.回顾傅里叶级数的复数形式

$任意周期为2l的周期可以展开为以下的傅里叶级数$
$f(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}$
$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}} dx,n=0,\pm1,\pm2,...$
$这里把2l标记为T,\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2l}=\frac{\pi}{l},叫角频率或者基频率,则有$
$f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i n\omega_0 x}--1式$
$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dx,n=0,\pm1,\pm2,...--2式$

2.时域,频域-不同角度看待$f(x)$

$观察1式,C_n是复数形式也就是a+bi$
$这是C_n的图像$

$其实应该是两维的,x轴是n\omega_0,y轴是C_n,但因为C_n是复数,所以这里展示的是三维图$
$所以这个图其实是表示的f(x),这个叫频域表达,或者频谱$
$而一般的以T为x轴的是时域表达,时谱$

$这就是从不同的角度看世界$

3.非周期函数的表达,$T\rightarrow \infty$

$非周期函数就是T\rightarrow \infty$

$1.当T\rightarrow \infty ， \Delta \omega \rightarrow 无穷小$

$因为\delta \omega=(n+1)\omega_0 -n\omega_0 = \omega_0=\frac{2\pi}{T}$
$此时两个点之间的间距\delta \omega 无穷小意味着离散点变成了连续函数,包括横坐标不用叫n\omega_0,直接就是\omega$

$2.将2式代入1式,整理公式$

$f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}$
$因为\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi},代入$
$f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{\Delta \omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}$
$重点来了$
$随着T\rightarrow \infty$
$1.积分部分\int_{-T/2}^{T/2} 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty}$
$2.n\omega_0 变成了\omega$
$3.\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\Delta \omega 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega$
$最后得到了$
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dxe^{i \omega x} d\omega$
$中间部分就是傅里叶变换公式$
$FT,F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dx$
$傅里叶逆变换f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i \omega x}d\omega$
$x是时域参数,\omega 是频域参数$

4.时域空间,频域空间

几个记号
$一般令时域参数为x,频域上为\xi$
FT , 傅里叶变换 Fourier Transform
$\mathscr{f}[g(x)](\xi),意思是对g(x)做傅里叶变换,变换后的参数为\xi$

4.1 时域和频率上都是连续的

4.1.1 Coninuous FT,CFT

$\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx,(我看一般的标准形式都是带2\pi 的，这个是等价的，在第一个小节里面将\omega_0=\frac{2\pi}{T}改成\omega_0=\frac{1}{T}即可)$
$1.e^{-i2\pi\xi x} ， 注意负号$
$2,e^{-i2\pi\xi x} =\cos(-2\pi\xi x)+i \sin(-2\pi\xi x)$
$3.这个积分就是內积的含义,也就是g(x)在e^{-i2\pi\xi x}上的投影值$

4.1.2 Inverse CFT

$\mathscr{f}^{-1}[\hat g(\xi)](x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi)e^{2\pi i\xi x} d\xi$
$1.e^{i2\pi\xi x} ， 注意符号$
$2.积分变量是\xi,时域x和频率变量\xi 是一种对偶的关系$

4.2 时域上离散的,频率上是连续的

4.2.1 Discrete-Time FT (DTFT)

$时间上是有一定精度的,那么采样点 x_j = j\Delta ,j\in Z,\Delta 就是一个采样的精度$
$此时能看到的最小周期就是\Delta,因为再小也无法观察到了,最大周期就是\infty$
$那么对应的,因为周期和频率成倒数关系$
max period=$\infty \leftrightarrow$ min freq =0
min period=$\Delta \leftrightarrow$ max freq =$\frac{1}{\Delta}$
$\xi 是频率参数,有$
$-\frac{1}{2\Delta}\le \xi \le \frac{1}{2\Delta}$
$则离散意义下的傅里叶变换为$
$\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)\triangleq \hat g_{DTFT}(\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}g(j\Delta)e^{-2\pi i \xi j\Delta}$
$对比连续意义下的傅里叶变换$
$\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx$

4.2.4 Inverse DTFT

$\mathscr{f}_{DTFT}^{-1}[\hat g_{DTFT}(\xi)](j)=\Delta \int_{-\frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g_{DTFT}(\xi)e^{2\pi i \xi j\Delta}d\xi$

4.3 采样时间是有限的,精度是无穷的

4.3.1 FS

这就是我们很熟悉的傅里叶级数Fourier Serires FS
$-\frac{T}{2}\le x \le \frac{T}{2},\xi =\frac{k}{T},k\in Z$
$则$
max period = T $\leftrightarrow$ min freq =$\frac{1}{T}$
min period 趋向于0(因为精度无限小) $\leftrightarrow$ max freq = $\infty$
$\mathscr{f}_{FS}[g(x)](k)\triangleq C_k(就是傅里叶系数)=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(x)e^{-i 2\pi x \frac{k}{T}} dx$
$就是f(x)=a_0+\sum a_k \sin (\frac{2\pi kx}{T})+\sum b_k \cos (\frac{2\pi kx}{T})$

4.3.2 Inverse

$\mathscr{f}_{FS}^{-1}[C_k](x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ix \frac{k}{T}}$

4.4 时域,频率都是离散的

4.4.1 离散傅里叶变换 DFT

$j,k\in 0,1,...,N-1$
$\mathscr{f}_{DFT}[\{a_j\}_{j=1}^{N-1}](k)=\sum_{j=0}^{N-1}a_j e^{-2\pi ikj/N}$

4.4.2 Inverse

$\mathscr{f}_{DFT}^{-1}[\{b_k\}_{k=1}^{N-1}](j)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}b_k e^{2\pi ikj/N}$