傅里叶变换

材料准备

https://www.bilibili.com/video/BV1jt411U7Bp

https://www.bilibili.com/video/BV167411N7fE?p=2

1.回顾傅里叶级数的复数形式

\(任意周期为2l的周期可以展开为以下的傅里叶级数\)
\(f(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}\)
\(c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}} dx,n=0,\pm1,\pm2,...\)
\(这里把2l标记为T,\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2l}=\frac{\pi}{l},叫角频率或者基频率,则有\)
\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i n\omega_0 x}--1式\)
\(c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dx,n=0,\pm1,\pm2,...--2式\)

2.时域,频域-不同角度看待\(f(x)\)

\(观察1式,C_n是复数形式也就是a+bi\)
\(这是C_n的图像\)

\(其实应该是两维的,x轴是n\omega_0,y轴是C_n,但因为C_n是复数,所以这里展示的是三维图\)
\(所以这个图其实是表示的f(x),这个叫频域表达,或者频谱\)
\(而一般的以T为x轴的是时域表达,时谱\)

\(这就是从不同的角度看世界\)

3.非周期函数的表达,\(T\rightarrow \infty\)

\(非周期函数就是T\rightarrow \infty\)

\(1.当T\rightarrow \infty ， \Delta \omega \rightarrow 无穷小\)

\(因为\delta \omega=(n+1)\omega_0 -n\omega_0 = \omega_0=\frac{2\pi}{T}\)
\(此时两个点之间的间距\delta \omega 无穷小意味着离散点变成了连续函数,包括横坐标不用叫n\omega_0,直接就是\omega\)

\(2.将2式代入1式,整理公式\)

\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}\)
\(因为\frac{1}{T}=\frac{\Delta \omega}{2\pi},代入\)
\(f_T(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\frac{\Delta \omega}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)e^{-i n\omega_0 x} dxe^{i n\omega_0 x}\)
\(重点来了\)
\(随着T\rightarrow \infty\)
\(1.积分部分\int_{-T/2}^{T/2} 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty}\)
\(2.n\omega_0 变成了\omega\)
\(3.\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\Delta \omega 就变成了 \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega\)
\(最后得到了\)
\(f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dxe^{i \omega x} d\omega\)
\(中间部分就是傅里叶变换公式\)
\(FT,F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i \omega x} dx\)
\(傅里叶逆变换f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i \omega x}d\omega\)
\(x是时域参数,\omega 是频域参数\)

4.时域空间,频域空间

几个记号
\(一般令时域参数为x,频域上为\xi\)
FT , 傅里叶变换 Fourier Transform
\(\mathscr{f}[g(x)](\xi),意思是对g(x)做傅里叶变换,变换后的参数为\xi\)

4.1 时域和频率上都是连续的

4.1.1 Coninuous FT,CFT

\(\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx,(我看一般的标准形式都是带2\pi 的，这个是等价的，在第一个小节里面将\omega_0=\frac{2\pi}{T}改成\omega_0=\frac{1}{T}即可)\)
\(1.e^{-i2\pi\xi x} ， 注意负号\)
\(2,e^{-i2\pi\xi x} =\cos(-2\pi\xi x)+i \sin(-2\pi\xi x)\)
\(3.这个积分就是內积的含义,也就是g(x)在e^{-i2\pi\xi x}上的投影值\)

4.1.2 Inverse CFT

\(\mathscr{f}^{-1}[\hat g(\xi)](x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\hat g(\xi)e^{2\pi i\xi x} d\xi\)
\(1.e^{i2\pi\xi x} ， 注意符号\)
\(2.积分变量是\xi,时域x和频率变量\xi 是一种对偶的关系\)

4.2 时域上离散的,频率上是连续的

4.2.1 Discrete-Time FT (DTFT)

\(时间上是有一定精度的,那么采样点 x_j = j\Delta ,j\in Z,\Delta 就是一个采样的精度\)
\(此时能看到的最小周期就是\Delta,因为再小也无法观察到了,最大周期就是\infty\)
\(那么对应的,因为周期和频率成倒数关系\)
max period=\(\infty \leftrightarrow\) min freq =0
min period=\(\Delta \leftrightarrow\) max freq =\(\frac{1}{\Delta}\)
\(\xi 是频率参数,有\)
\(-\frac{1}{2\Delta}\le \xi \le \frac{1}{2\Delta}\)
\(则离散意义下的傅里叶变换为\)
\(\mathscr{f}_{DTFT,\Delta}[g(x)](\xi)\triangleq \hat g_{DTFT}(\xi)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}g(j\Delta)e^{-2\pi i \xi j\Delta}\)
\(对比连续意义下的傅里叶变换\)
\(\mathscr{f}[g(x)](\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-i 2\pi\xi x} dx\)

4.2.4 Inverse DTFT

\(\mathscr{f}_{DTFT}^{-1}[\hat g_{DTFT}(\xi)](j)=\Delta \int_{-\frac{1}{2\Delta}}^{\frac{1}{2\Delta}}\hat g_{DTFT}(\xi)e^{2\pi i \xi j\Delta}d\xi\)

4.3 采样时间是有限的,精度是无穷的

4.3.1 FS

这就是我们很熟悉的傅里叶级数Fourier Serires FS
\(-\frac{T}{2}\le x \le \frac{T}{2},\xi =\frac{k}{T},k\in Z\)
\(则\)
max period = T $ \leftrightarrow $ min freq =\(\frac{1}{T}\)
min period 趋向于0(因为精度无限小) $ \leftrightarrow $ max freq = \(\infty\)
\(\mathscr{f}_{FS}[g(x)](k)\triangleq C_k(就是傅里叶系数)=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(x)e^{-i 2\pi x \frac{k}{T}} dx\)
\(就是f(x)=a_0+\sum a_k \sin (\frac{2\pi kx}{T})+\sum b_k \cos (\frac{2\pi kx}{T})\)

4.3.2 Inverse

\(\mathscr{f}_{FS}^{-1}[C_k](x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi ix \frac{k}{T}}\)

4.4 时域,频率都是离散的

4.4.1 离散傅里叶变换 DFT

\(j,k\in 0,1,...,N-1\)
\(\mathscr{f}_{DFT}[\{a_j\}_{j=1}^{N-1}](k)=\sum_{j=0}^{N-1}a_j e^{-2\pi ikj/N}\)

4.4.2 Inverse

\(\mathscr{f}_{DFT}^{-1}[\{b_k\}_{k=1}^{N-1}](j)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}b_k e^{2\pi ikj/N}\)