傅里叶级数

准备材料

高等数学同济版 第十二章，无穷级数，第七，第八节

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1.基础概念

$任意周期函数f(x)可以转换为傅里叶级数\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx),有点像泰勒展开$

2.基础知识-正交性

$离散值的正交性,內积=0$
$连续值的正交性,\int_D f(x)g(x) =0,即积分=0$

2.1三角函数的正交性

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx dx=0,n=1,2,3,...$
$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx dx=0,n=1,2,3,...$
$\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos nx dx=0,k,n=1,2,3,...,k可以等于n$
$\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos nx dx=0,k,n=1,2,3,...,k\ne n$
$\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin nx dx=0,k,n=1,2,3,...,k\ne n$
$\color{red}{证明公式待补充}$
$结论:得到了一组正交的三角函数系,1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,....$

3.求$a_0,a_n,b_n$

$令f(x)是原函数,\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n \sin nx)是傅里叶级数$
$求\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,可得a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
$求\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx,可得a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx$
$求\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx,可得b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx$
$这里当a_n的n=0时,就等于a_0,所以一般不单独写a_0,合并到a_n中$
$\color{red}{证明公式待补充}$

4.傅里叶级数的收敛性

$函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛是否一定收敛于f(x)?$

定理(收敛定理,狄利克雷充分条件)

$设f(x)是周期为2\pi的周期函数,如果它满足$
$1.在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点$
$2.在一个周期内至多只有有限个极值点$
$则f(x)的傅里叶级数收敛,并且$
$当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x)$
$当x是f(x)的间断点时,级数收敛于\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$
$\color{red}{书上也没有证明,知道下就好,有点复杂,暂时就知道知道连续函数就能收敛就行}$

4.通用周期形式

$设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为$
$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}),x\in C$
$a_n=\frac{1}{l}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,...$
$b_n=\frac{1}{l}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,...$
$C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$

5.例题

$设f(x)=\begin{cases} 1 & -\pi \le x\le 0\\ -1 & 0\le x < \pi \end{cases},求傅里叶级数$
$1.先证明收敛性,略$
$2.求a_n,b_n$
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos nx dx + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(1)\cos nx dx =0$
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin nx dx + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(1)\sin nx dx=\begin{cases} \frac{4}{n\pi},&n=1,3,5\\ 0,& n=2,4,6\\ \end{cases}$
$3.代入傅里叶级数,略$

6.傅里叶级数的复数形式

$先回顾下刚才的傅里叶级数形式$
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}),x\in C$
$a_n=\frac{1}{l}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,...$
$b_n=\frac{1}{l}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,...$
$C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$
$然后这里引入大名鼎鼎的欧拉公式,e^{ix}=(\cos x+i\sin x)$
$转换下\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$
$代入傅里叶级数展开式中,得到$
$f(x)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}}$
$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}} dx,n=0,\pm1,\pm2,...$