算法导论笔记 红黑树(1)

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//  RB_tree.cpp

//  笔记

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//  Created by fam on 15/3/17.

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//RB_tree

{

    /*

        RB_tree概述:

        RB_tree是一种平衡二叉树，必须满足4个条件:

        1:每个节点不是红色就是黑色

        2:根节点为黑色(叶子节点也为黑色)

        3:如果节点为红，其子节点必须为黑(也就是说不能同时出现两个红色节点)

        4:每个节点 到达叶子节点的 每一条路径 必须拥有同样数量的 黑色节点 (这个数量(不包含自己)称之为黑高)

        

        在平衡RB_tree的时候可以先从上到下进行调整，每次遇到一个节点的子节点都是红色的

        就把这个节点改成红色，把子节点改成黑色。 如果该节点的父节点也是红色，

        就做一次(也有可能是两次)旋转。

        这样做的目的是，尽可能让红色节点上移，这样红色节点就会变少，此时插入黑色需要调整的就少了

     

     

    */

    

    

    //一下是算法导论中的红黑树笔记:

    

    

    //哨兵

    /*

        哨兵:

        为了方便处理红黑树中的边界条件，使用一个哨兵(T.nil)来表示叶子节点，T.nil拥有和普通节点一样的属性

        color属性为black，其他属性可以为任意值，这样可以把叶子节点视为一个普通的节点，但是为了节省空间，可以把

        所有叶子节点和根节点的父节点设置为同一个哨兵(T.nil)。

     

    */

    

    

    //红黑树的高度

    /*

        树高h最大为2lg(n+1):

        先用归纳法证明每个x节点至少包含 2^(bh(x))-1 个子节点(bh==blackheight)

        1:如果bh(x)为0，也就是x为T.nil，x拥有 2^(0)-1 == 0个子节点

        2:一个x的子节点的黑高为 bh(x):{x为红色} 或 bh(x-1):{x为黑色}

        所以x拥有的自节点个数至少为 2*2^(bh(x)-1)-1 == 2^(bh(x))-1

        由此得证：每个x节点至少包含 2^(bh(x))-1 个子节点

        

        根据第3个条件，一条路径至少包含一半的黑色节点 -->>

        bh(x)>=h/2 -->>  n>=2^(h/2)-1 -->> lg(n+1) >=h/2 

        -->> h<=2lg(n+1) (lg表示log2)

        得证树高最大为2lg(n+1)

        所以RB_tree所有操作时间为O(lg(n));

     

     

    */

    

    //左旋转操作

    

    //对x进行左旋转

    LEFT-ROTATE(T,x)

    {

        y=x.right;          //拿到x的右儿子

        x.right=y.left;     //已知的有 x.right==y y.p==x 所以可以先改变这两个值

        if(y.left!=T.nil)   //如果y的左儿子为nil就不需要给这个nil赋值一个parent

            y.left.p=x;

        

        y.p=x.p;            //剩下的已知只有y.p  所以找到旋转后的y.p就是现在的x.p

        if(x.p == T.nil)    //如果x.p是nil，代表x时根节点，所以旋转后y就是根节点

            T.root=y;

        else if(x=x.p.left) //判断x是的父节点的左儿子还是右儿子

        {

            x.p.left=y;

        }

        else

        {

            x.p.right=y;

        }

        y.left=x;           //y.left用完了(之前给x.right赋值完就可以存放x了)，拿来存放旋转后的值(x);

        x.p=y;              //x.p用完了，可以拿来存放旋转后的值(y)了

    }