子集树和排列树

假设现在有一列数a[0],a[1], ...a[n-1]

①如果一个问题的解的长度不是固定的，并且解和元素顺序无关，即可以从中选择0个或多个，那么解空间的个数将是指数级别的，为2^n,可以用下面的子集树来表示所有的解

 子集树的算法框架为：

 

void backtrack(int t) {//表示访问到第t层,t从0开始  
if (t == n)
 output(x);  
else  
for (int i = 0; i <= n; i++) { //表示选或不选a[t]  
  x[t] = i;  
  if (constraint(t) && bound(t))  
   backtrack(t + 1);  
 }  
}

 

②如果解空间是由n个元素的排列形成，也就是说n个元素的每一个排列都是解空间中的一个元素，那么，最后解空间的组织形式是排列树

 排列树算法的基本框架为：

 

void backtrack(int t)  
{  
    if (t == n)  
        output(x);  
    else  
        for (int i = t; i < n; i++)  
        {  
            swap(x[t], x[i]);                    1
            if (constraint(t) && bound(t))  
            {  
                backtrack(t + 1);                2 
                swap(x[t], x[i]);                3  
            }  
        }  
}  

遇到子集树和排列数的回溯问题，几乎都可以用上面的模板来套。

注意: 序列A表示“前缀”序列，以便输出，S表示需要进行全排列的元素集合，以便依次选做第一个元素。

void print_emu(序列 A, 集合S) {  
  if (序列A满了) 输出序列A;  
 else {  
  1.按照从小到大依次考虑S中的每一个元素v  
  2.print_emu(在A的末尾加上v后得到新的序列, S-{v})  
 }  
}  

以n=3 为例说明递归的执行过程：初始化x[]={1,2,3}

开始时：t=1，n=3；

　　进入Backtrack(1) 此时t=1，i=1，执行①此时x[1]=1与x[1]=1交换；

　　然后执行②进入t=1，i=1 的Backtrack(2)执行t=2，i=2的①x[2]=2与x[2]=2交换；

　　然后执行②进入t=2，i=2的Backtrack(3)执行t=3，i=3的①x[3]=3与x[3]=3交换；

　　然后执行②进入Backtrack(4)输出x序列（1，2，3）。

　　返回到Backtrack(3)层执行t=3，i=3的③x[3]=3与x[3]=3（即还原成原序列），返回到t=2，i=2的Backtrack(2)层执行③x[2]=2与x[2]=2交换，至此t=2，i=2执行完成。

　　下面开始执行t=2，i=3执行①此时x[2]=2与x[3]=3交换；

　　然后执行②进入t=2，i=3的Backtrack(3)执行t=3，i=3 的①x[3]=3与x[3]=3交换；

　　然后执行②进入Backtrack(4)输出x序列（1，3，2）。

　　返回到Backtrack(3)层执行t=3，i=3的③x[3]=3与x[3]=3（即还原成原序列1，3，2），返回到t=2，i=2的Backtrack(2)层执行③x[2]=3与x[3]=2（即还原成原序列1，2，3）交换，至此t=2，i=3执行完成。

至此t=1，i=1执行完成，

    下面关于执行t=1，i=2和t=1，i=3的过程与t=1，i=1类似。