numpy.linalg.svd函数

numpy.linalg.svd函数
转载自：python之SVD函数介绍
函数：np.linalg.svd(a,full_matrices=1,compute_uv=1)
参数：
https://www.cnblogs.com/xym4869/p/11301727.html
a是一个形如(M,N)的矩阵
full_matrices的取值为0或者1，默认值为1，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N) 。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。
compute_uv的取值是为0或者1，默认值为1，表示计算u,s,v。为0的时候只计算s。
返回值：

总共有三个返回值u,s,v
u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)。
A=u∗s∗v
其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。
举例：

from numpy import *
data = mat([[1,2,3],[4,5,6]])
U,sigma,VT = np.linalg.svd(data)
print U
[[-0.3863177 -0.92236578]
[-0.92236578 0.3863177 ]]
print sigma
[9.508032 0.77286964]
print VT
[[-0.42866713 -0.56630692 -0.7039467 ]
[ 0.80596391 0.11238241 -0.58119908]
[ 0.40824829 -0.81649658 0.40824829]]
因为sigma是除了对角元素不为0，其他元素都为0。所以返回的时候，作为一维矩阵返回。本来sigma应该是由3个值的，但是因为最后一个值为0，所以直接省略了。

关于奇异值：

对于方阵而言，A=QQ−1，其中Q为特征向量。但不是方阵的矩阵没有特征向量。
非方阵矩阵可以用奇异值分解描述矩阵。A=USVT，其中U叫做左奇异值，S叫做奇异值，V叫做右奇异值。因为S只有对角线的数不为0，并且数值是从大到小排列，所以一般只取r个。r的值越接近A的列数，那么三个矩阵的乘法得到的矩阵越接近A。
因为三个矩阵的面积之和远远小于原矩阵A，所以当A是很大的矩阵，我们向压缩空间表达A的时候，可以使用这三个矩阵。
当A不是矩阵时，把A转置成AT。且(AAT)v=λv，其中v是右奇异值，∂v=λ−−√，这里的∂就是上述的奇异值。u=Av∂，u就是上面的左奇异值。