对B站故障的其他思考

7月B站公布了对去年一起故障的全面复盘，《2021.07.13 我们是这样崩的》。文章记录了故障的详细处理过程和崩溃的原因。

正好今年在对envoy的扩展中也进行过实践。虽然引发故障的代码是只有7行的计算最大公约数的函数，但这7行代码并不简单，故障原因B站已经分析清楚，这里聊点文章中没有提到的内容。

为什么gcd函数可以得到最大公约数（greatest common divisor）

最大公约数，简称gcd，是指可以同时整除两个正整数的最大整数。广为流传的计算方式叫做辗转相除法，最早提出辗转相除法的是2000多年前的欧几里得，所以也叫欧几里得算法。欧几里得在他的著作《几何原本》第七卷中介绍了这种算法，可能那时候还没有divisor这个词，书中用的是“greatest common measure”来表示最大公约数。

在先前的文章100行代码实现加权负载均衡算法(WRR)中，有用到过辗转相除计算最大公约数。由于这个代码太短太好copy了，以至于一直以来没有思考过它为什么奏效。所以就查阅了一些资料，尝试从原理上理解一下。下面是一些小学数学级别的推导：

1. 如果一个整数m可以整除整数a，那么可以表达为$a=k^1\times m$，其中k_1是一个正整数，如果恰好m又可以整除b，那么表示为$b=k^2\times m$，同理$k^2$也是正整数。（这种情况称为同余，记作$a\equiv b\mathrm{mod}m$，是余数为0的特殊情况）
2. 如果我们设$a>b$，那么容易想到，$a-b$也能被m整除，因为$a-b=(k^1-k^2)\times m$，当然假设$a<b$也是一样的。这样问题就变成了求b和a-b的最大公约数。
3. 这样始终递减下去，最终总会有一次，$a-b=0$（注意不会出现$a-b$为负数的情况，如果为负数，那就改为$b-a$，总之始终用大的减去小的）。我们都知道正整数的最大公约数最小只能为1，那就说明此时a和b相等且都等于最大公约数。

这个计算过程对不对呢？确实是没问题的，但是太慢了，试想计算62748517和182的gcd：

• 用62748517减去344772次的182后，得到13
• 再用较大182减去14次13得到$a-b=0$的结束条件
• 最终得到gcd为13

总共做了344786次减法，实在有些离谱，能否优化一下呢？

回到上面的第二步，如果$a-b$可以被m整除，那么$a-2b$显然也可以，事实上，我们只要确保$a-n\times b\ge 0$，想怎么减就怎么减，那这看起来像是什么呢？没错就是$a\mathrm{mod}b$，也就是我们代码中的a%b。

再看刚才的62748517和182的gcd计算，一个模运算，就可以得到13，再计算$182\mathrm{mod}13=0$，得到m为13。只需要两次运算！

此外，代码中并没有判断两个数字大小的逻辑，是因为当一个小数除以一个大数取余时，余数就是小数自身，所以代码中并不需要判断a、b哪个大哪个小，模运算会帮助我们颠倒成正确的顺序进行计算。

鼻祖就是鼻祖，2000多年前的算法，现在还在用。所以在很多离散数学的教材上也会有这个推理的过程。

为什么在B站的案例中没有stack溢出

我们知道通常递归函数在限制递归深度的情况下，会出现栈溢出，B站的故障中gcd的递归却一直没有溢出，这是为什么呢？

你或者听说过尾调用，或许也写过尾递归，但你不一定听过尾调用消除（tail call elimination）。要了解尾调用消除，首先要定义什么是尾调用。在《lua程序设计》一书中，根据lua的作者的定义，只有return func(args)这种形式的调用，才被称为尾调用。

尾调用示例1

local function _gcd(m, n)
    if n == 0 then
        return m
    end
    return _gcd(n, m%n) -- 不会报错
end

尾调用示例2

local function foo(n)
    n = n - 1
    if n <= 0 then
        return -1
    end
    return foo(n) -- 不会报错
end

尾调用反例1

local function foo(n)
    n = n - 1
    if n <= 0 then
        return -1
    end
    return foo(n)+1 -- stack overflow
end

尾调用反例2

local function foo(n)
    n = n - 1
    if n <= 0 then
        return
    end
    foo(n) -- stack overflow
end

当然这并不意味着return func(args)必须出现在调用者代码的最后一行，比如下面的写法，也符合尾调用消除的规范。

local function foo(n)
    n = n - 1
    if n > 0 then
        return foo(n) -- 不会报错
    end
    return -1
end

一般我们用caller表示发起调用的函数，callee表示被调用函数，下面来解释一下尾调用消除的原理。

正常的函数调用，caller的栈帧会被保留，callee会在栈顶新开辟空间，来保存自己的局部变量，并在callee返回之后，caller继续执行自己的代码。但如果callee是caller的最后一个CALL指令触发的，那么caller的职责其实已经完成了，callee返回就意味着caller返回。所以当callee被调用时，caller的栈帧将被callee覆盖，这个操作就叫尾调用消除。

正是因为尾调用栈不会增长，所以B站的故障中，没有报stack overflow，而是在gcd函数中将cpu打倒了100%。

尾调用消除一般会出现在类似lua、js这种动态类型语言中，而静态类型语言中则几乎没有这种功能，比如说下面的c语言代码

#include "stdio.h"
int foo(int n)
{
    n = n -1;
    printf("n=%d\n", n);
    if(n==0){
	return -1;
    }
    return foo(n);
}
int main()
{
    // 55f02c53-c0e2-4c96-b4cb-7284e7cdc6b3
    foo(10000000);
}

同样的逻辑，在lua中你可以得到-1的结果，在c语言中你会得到Segment fault 11，实际上就是栈溢出了。