理解网络流中的反向弧

在刚学习网络流时，反向弧的概念困惑了我很久，因为在有向网中，弧或者边是有方向的，沿着弧的反方向推进流量虽然在计算上行得通，但是不理解这样做的意义。

由于手边的参考书籍主要侧重实践，对反向弧的用途并未进行过多解释，所以决定对反向弧一探究竟。

反向弧的意义

先说结论，一言以蔽之

为了获得最大流，而对之前流量的修正

通俗点讲就是反悔、悔棋。下面通过一个最大流求解过程来说明反向弧对流量的修正

反向弧流量修正栗子

如下图所示，A1为源点，A2为汇点。每条弧上的数字的含义是：第一个标识弧的容量，第二个表示弧当前的流量，图G中存在网络流f A1-A2-A3-A4，当前网络流f流量为1，在网络流f的基础上求图G的最大流。

我们使用最简单的Ford-Forkerson算法，执行如下步骤

1. 首先从汇点执行BFS，标记弧<A1,A2>的可改进量为α=1（容量2减去流量1）
2. 从A2出发，发现<A2,A3>已经满载，跳过弧<A2,A3>
3. 从A2出发，发现<A2,A4>有剩余容量，选择min(f<A1,A2>,c<A2,A4>-f<A2,A4>) = 1

至此，找到一条增广路，对网络流改进如下图所示，增广链已经用红色字体标出

改进后的网络流f如下图所示，有1个单位的流量途径A1-A2-A4到达汇点，有1个单位的流量途径A1-A2-A3-A4到达汇点，当前流量为2。

当前网络流f还不是最大流，我们继续求解，下面再从源点开始第二轮的BFS，执行步骤如下

1. 从汇点开始执行BFS，由于<A1,A2>已经满载，不再加入BFS队列，顶点A3入队，标记<A1,A3>可改进量α=2
2. 这里我们来到了关键步骤，先按照规则计算流量，后面再做分析。这里从A3执行BFS时，发现到A4的弧已经满载，只能选择反向弧<A3,A2>，并推进1个单位的流量
3. 最后从弧<A2,A4>，可以推进1单位的流量到汇点，至此，已求得网络G的最大流为3

第二次增广的路径如下图所示，增广链已经用红色标出

在第二次增广过程中，我们在弧<A2,A3>上进行了反向推进，下面深入分析一下步骤2的反向推进对网络流的影响。

关于第二轮增广步骤2的分析

根据定义，反向弧的容量$c_{反}$是其正向弧的流量$f_{正}$，这里反向弧<A3,A2>的容量为1，我们可以反向推进一个单位的流量，使得弧<A2,A3>的流量从1变为0。

你可能会想，我取消了弧<A2,A3>的流量，那弧<A3,A4>的1单位流量怎么办，岂不成了无源之水？

实际情况是，在弧<A2,A3>上反向推进的1单位流量，约束了此次查找到的增广路可改进量α肯定是小于等于1的。换言之，可以看做<A1,A3>接管了弧<A2,A3>推进到<A3,A4>的流量，并使原来<A2,A3>上的流量从顶点A2的其他路径流向汇点。仔细体会一下这个过程，就会豁然开朗。

最终图G的最大流如下图所示

结论

无论是基于BFS的Ford-Fulkerson算法，还是基于DFS的Dinic算法，每次查找到增广路，都是局部解（甚至不一定是局部最优解）。对之前流量不断修正，可以确保我们在多次增广过程中找到全局的最优解，这个修正过程是一定会有反向弧参与其中的。希望上面的例子对你理解反向弧有帮助，如果有任何疑问可以留言，我们一起探讨。