1.11 NIM（1）一排石头的游戏

1.11 NIM（1）一排石头的游戏

基本问题：个石头排成一行，每一块石头有各自固定的位置。两个玩家依次取石头，每一个玩家每一次可以取其中任意一块石头，或者相邻的两块石头，石头在游戏过程中不能移位，最后能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。

answer：

必胜策略：

• n = 1 拿完，必胜
• n = 2 拿完，必胜
• n = 3 拿中间的那个，必胜
• n = 4 拿中间的两个，必胜
• 由上面推算可得如果n>4，先取石头的那个人取中间的一个（n为奇数）或者中间连着的两个（n为偶数），确保左右两边的石头数目是一样的，之后先取石头的人只需要每次以初始中心为对称轴，与后取石头者取石头位置的地方对称的地方取相同数目的石头即可，就可以保证每次必有石头可取，并且最终赢得游戏。

拓展问题

1 若规定最后取光石头的人输，又该如何应对呢？

没有必胜策略

• n = 1 只能拿完，必输
• n = 2 拿一个，胜利
• n = 3 拿两个，胜利
• n = 4 无论拿一个还是拿两个，必输
• n = 5 拿一个，转成n=4 胜利
• n = 6 拿两个，转成n=4 胜利
• n = 7 必输

具体的步骤：

• n = 3k+1 对手赢
• n = 3k+2 你赢，拿走1块石头，变成3k+1
• n = 3k+3 你赢，拿走2块石头，变成3k+1

2 若两个人轮流取一堆石头，每人每次最少取1块石头，最多取K块石头，最后取光石头的人赢得此游戏

• 如果K > n 则先取石头者胜利
• 如果K < n 考虑n与k的关系
  n=(k+1)c+d
  当d！=0时，先手玩家取d-1个石头剩余(k+1)c+1，然后轮到玩家B取石头，不论B取多少石头，A都能够取相应的石头，使得A和B一起取k+1个石头这样，还剩余(k+1)*(c-1)+1个石头，如此往复，一定会剩余一个石头等着A取