4.1 金刚坐飞机问题

4.1 金刚坐飞机问题

现在有一架飞机要起飞，乘客们正准备按机票号码（1,2,3...,N）一次排队登机。突然来了一只大猩猩（金刚）。他也有机票，但是他插队第一个登上了飞机，然后随意的选择了一个座位坐下了。根据社会的和谐程度，其他的乘客有两种反应：

基本问题

1.乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志都不守规矩，为什么我要遵守？”他们也随意的找位置坐下，并且坚决不让座位给其他乘客。
2.乘客们虽然感到愤怒，但是还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机的选择另一个位置坐下，就开始闭目养神，不在挪动。
问题：在这两种情况下，第i个乘客（出去金刚同志外）做到自己原机票位置的概率分别是多少？

基本问题1：乘客们都义愤填膺，“既然金刚同志都不守规矩，为什么我要遵守？”他们也随意的找位置坐下，并且坚决不让座位给其他乘客。

\(F(i)\)表示第i个乘客坐在第i个位置上的概率
\(P(i-1)\)表示前\(i-1\)个人没有坐在第i个位置上的概率
\(G(i)\)表示第i个乘客坐在第i个位置的概率
\(P(i-1) = P(i-2) * Q(i-1)\),\(Q(i-1)\)表示第\(i-1\)个乘客也不坐在第i个位置的概率，总的而言，就是将前\(i-1\)个乘客不坐在第i个位置的概率分解为前\(i-2\)个乘客不坐在第i个位置的概率与第\(i-1\)个乘客也不坐在第\(i\)个位置的概率

\[F(i) = G(i) * P(i-1) \]

\[= G(i) * P(i-2) * G(i-1) \]

\[= .... \]

\[= G(i) * Q(i-1) * Q(i-2) * ... * Q(2) * P(1) \]

其中

\[Q(i) = \frac{N-i}{N-i+1} , P(1) = \frac{N-1}{N} , G(i) = \frac{1}{N-i-1} \]

代入得：

\[F(i) = \frac{1}{N} \]

基本问题2: 乘客们虽然感到愤怒，但是还是以“和谐”为重，如果自己的位置没有被占领，就赶紧坐下，如果自己的位置已经被别人（或者金刚同志）占了，就随机的选择另一个位置坐下，就开始闭目养神，不在挪动。

\[F(i) = 1, i=1 \]

\[F(i) = \frac{1}{2}, i>2 \]

拓展问题

如果登机的时候乘客上飞机是没有顺序的，那么上述两种情况的概率又是多少呢？
（暂定）