数论

1.糖水定理： 
a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。糖水不等式为不等式中的难点

2.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

假设下列方程有正整数解。

设

  

为最小的解。即

显然，

  

和

  

都必须能被3整除。

设

  

及

  

，

我们得到

两边同时除以3，就得到

这是更小的解，与

  

的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。 

3 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式： (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (ay - bx + cw - dz)2 + (az - bw - cx + dy)2 + (aw + bz - cy - dx)2根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m和n能表示为4个整数的平方和，则其乘积mn也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p，同余方程 x^2+y^2+1≡0(modP)必有一组整数解x，y满足0≤x<p/2,0≤y<p/2 (引理一)

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。