0x07算法设计与分析复习（二）：算法设计策略-动态规划法5

参考书籍：算法设计与分析——C++语言描述（第二版）

算法设计策略-动态规划法

流水作业调度

问题描述

假定处理一个作业需要执行若干项不同类型的任务，每一类任务只能在某一台设备上执行。设一条流水线上有n个作业J={J0,J1,⋯,Jn−1}和m台设备P={P1,P2,⋯,Pm}。每个作业需依次执行m个任务，其中第j(1≤j≤m)个任务只能在第j台设备上执行。所谓依次执行，是指对任意作业，在第j-1项任务完成之前，第j项任务不能开始处理。且每台设备任何时刻只能处理一项任务。设第i个作业的第j项任务Tij所需的时间为tji(1≤j≤m,0≤i<n)。如何将这n×m个任务分配给m台设备，使得这n个作业都能顺利完成，这就是流水线作业调度（flow shop schedule）。

对于流水线上的作业调度，有两种基本的方式，一种是非抢先调度（nonpreemptive schedule），它要求在一台设备上处理一项任务，必须等到该任务处理完毕才能处理另一项任务。另一种是抢先调度（preemptive schedule），它允许暂时中断当前任务，转而先处理其他任务，随后再接着处理被暂时中断的任务。

作业i的完成时间fi(S)是指再调度方案S下，该作业的所有任务都已完成的时间。一种调度方案S的完成时间F(S)是指所有作业都完成的时间：

F(s)=max0≤i<n{fi(S)}

平均流动时间（mean flow time）MFT(S)定义为：

MFT(S)=1n∑i=0n−1fi(S)

一组给定的作业的最优完成时间是F(S)的最小值。

OFT：表示非抢先调度最优完成时间

POMT：表示抢先调度最优完成时间

OMFT：表示非抢先调度最优平均完成时间

POMFT：表示抢先调度最优平均完成时间

对于m>2，要得到具有OFT和POFT的调度方案是困难的，要得到具有OMFT的调度方案也是困难的。

下面只讨论当m=2时获得OFT的调度方案的算法，这就是双机流水作业调度问题。为方便，用ai表示t1i，bi表示t2i，两者分别为作业i再第一台设备和第二台设备上的处理时间。作为对比，批处理作业调度问题是求使得所有作业的完成时间之和FT(S)=∑n−1i=0fi(S)最小的调度方案。（务必不要将两者弄混）

双机流水作业调度描述为：设有n个作业的集合{0,1,2,⋯,n−1}，每个作业都有两项任务要求再两台设备P1和P2组成的流水线上完成加工。每个作业的加工顺序总是先再P1上加工，然后P2加工。P1和P2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在设备P1上开始加工，到最后一个作业在P2上加工完成所需的时间最少，即求使F(S)有最小值的调度方案。

动态规划法求解

设全部作业的集合为N={0,1,⋯,n−1}。设σ={σ(0),σ(1),⋯,σ(k−1)}是k个作业的一种调度方案，f1和f2分别是在设备P1和P2上，按该调度方案处理k个作业的时间。在P1完成前k个作业的处理后，设备P2还需用t=f2−f1时间去处理完前k的作业中没有完成处理的作业，即在t时间之前，设备P2不能开始处理以后的作业。设这些剩余额作业组成的作业集为S，S⊆N是N的作业子集。令g(S,t)为假定设备P2直到t时间后才可使用的情况下，使用设备P1和P2处理S中作业的最优调度方案所需的最短时间。那么流水作业调度问题的最优值为g(N,0)。

定理：流水作业调度问题具有最优子结构的性质

由流水作业调度问题的最优子结构性质可知：

g(N,0)=min0≤i<n{ai+g(N−{i},bi)}

上式推广到一般情况，对任意作业子集S和作业i有：

g(S,t)=ai+g(S−{i},t′),t′=bi+max{t−ai,0}

t′=bi+max{t−ai,0}是因为任务bi在max{ai,t}之前不能在设备P2上处理，因此，当作业i处理完毕时，有f2−f1=bi+max{ai,t}−ai=bi+max{t−ai,0}，t′决定了集合S−{i}中的作业在P2上可以开始处理的时间。

Johnson不等式

设R是关于作业集合S的任一调度方案。假定设备P2在t时间之后可使用，令i和j是在方案R下最先处理的两个作业。根据最优子结构性质有：

g(S,t)=ai+g(S−{i},bi+max{t−ai,0})=ai+aj+g(S−{i,j},tij)

式中

tij=bj+max{bi+max{t−ai,0}−aj,0}=bj+bi−aj+max{max{t−ai,0},aj−bi}=bj+bi−aj+max{t−ai,aj−bi,0}=bj+bi−aj−ai+max{t,ai+aj−bi,ai}

如果在调度方案的作业排序中，上述作业i和j满足min{bi,aj}≥min{bj,ai}，则称作业i和j满足Johson不等式。

交换作业i和j大的次序，得到另一种调度方案R′，设其完成时间为g′(S,t)，则有：

g′(S,t)=ai+aj+g(S−{i,j},tji)

式中，tij=bj+bi−aj−ai+max{t,ai+aj−bj,aj}

假定i和j满足Johnson不等式，则有：

max{−bi,−aj}≤max{−bj,−ai}ai+aj+max{−bi,−aj}≤ai+aj+max{−bj,−ai}max{ai+aj−bi,ai}≤max{ai+aj−bj,aj}max{t,ai+aj−bi,ai}≤max{t,ai+aj−bj,aj}

所以如果两个作业i和j不满足Johnson不等式，可交换它们的处理次序使之满足，这样就不会增加完成时间。

因此，存在一个最优作业调度，使得对于任意相邻的两个作业i和j，作业i先于j处理，都有min{bi,aj}≥min{bj,ai}。进一步可知，一个调度方案σ是最优的当且仅当对任意i<j，有

min{bσ(i),aσ(j)}≥min{bσ(j),aσ(i)}

根据以上的讨论，可以设计下列作业排序方法。这样做能得到最优调度方案：

1. 如果min{a0,a1,⋯,an−1,b0,b1,⋯,bn−1}是ai，则ai应是最优排列的第一个作业；
2. 如果min{a0,a1,⋯,an−1,b0,b1,⋯,bn−1}是bj，则bj应是最优排列的最后一个作业；
3. 继续1和2的做法，直到完成所有作业的排序。

Johnson算法

求解流水作业调度问题的Johnson算法具体描述如下。

1. 设a[i]和b[i](0≤i<n) 分别为作业i在两台设备上的处理时间。建立由三元组（作业号，处理时间，设备号）组成的三元组表d。其中，处理时间是指每个作业所包含的两个任务中时间较少的处理时间。
2. 对三元组表按处理时间排序，得到排序后的三元组表d。
3. 对三元组表的每一项d[i](0≤i<n)，从左右两端生成最优作业排列c[j](0≤j<n)，c[j]是作业号。如果d[i]的设备号为1，则将作业i置于c的左端末尾，否则置于c的右端末尾。

//Johnson算法
struct Triplet{
    //三元组结构
    int operator <(Triplet b)const {return t<b.t;}
    int jobNo,t,ab;//jobNo为作业号，t为处理时间，ab为设备号
};
 
void FlowShop(int n,int *a,int *b,int *c)
{
    Triplet d[mSize]={{0,0,0}};
    for(int i=0;i<n;i++){
        //算法步骤一，生成三元组表d
        if(a[i]<b[i]){
            d[i].jobNo=i;
            d[i].ab=0;
            d[i].t=a[i];
        } else {
            d[i].jobNo=i;
            d[i].ab=1;
            d[i].t=b[i];
        }
    }
    Sort(d,n);//算法步骤二，任意排序算法
    int left=0,right=n-1;
    for(i=0;i<n;i++){
        //算法步骤三，生成最优解
        if(d[i].ab==0)
            c[left++]=d[i].jobNo;
        else
            c[right--]=d[i].jobNo;
    }
}

Johnson算法的时间取决于对作业集的排序，因此最坏情况下算法的时间复杂度为O(nlogn)，所需空间复杂度为O(n)。