最小生成树

最小生成树

定义：

最小生成树是一副连通带权无向图中一个权值最小的生成树.

说人话就是：

我们用线段把图所有的顶点进行连接，连接时不能产生圈，并且所有边权值的和为最小.

我们一般用来解决最低成本或最短路径.

Prim算法

Prim可以说和Dijkstra是一对孪生兄弟，非常相似.

我们来通过例题具体了解.

模板题：

Prim算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|n=|V|，m=|E|m=|E|。

由 V中的全部 nn 个顶点和 EE 中 n−1n−1 条边构成的无向连通子图被称为 GG 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,w，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条权值为 ww 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤5001≤n≤500,
1≤m≤1051≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000010000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

解释尽在code里　　

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int pre[N];//节点的前去节点
int n,m;//n 个节点，m 条边
void prim() {
    memset(dt,0x3f,sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
    int res=0;
    dt[1]=0;//从 1 号节点开始生成
    for(int i=0; i<n; i++) { //每次循环选出一个点加入到生成树
        int t=-1;
        for(int j=1; j<=n; j++) { //每个节点一次判断
            if(!st[j] && (t==-1 || dt[j]<dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
                t=j;
        }
        //如果孤立点，直返输出不能，然后退出
        if(dt[t]==0x3f3f3f3f) {
            cout<<"impossible"<<endl;
            return;
        }
        st[t]=1;// 选择该点
        res+=dt[t];
        for(int i=1; i<=n; i++) { //更新生成树外的点到生成树的距离
            if(dt[i]>g[t][i] && !st[i]) { //从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
                dt[i]=g[t][i];//更新距离
                pre[i]=t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t.
            }
        }
    }
    cout<<res<<endl;
}
int main() {
    memset(g,0x3f,sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
    cin>>n>>m;//输入节点数和边数
    while(m--) {
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;//输出边的两个顶点和权重
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],w);//存储权重
    }
    prim();
    return 0;
}

Kruskal算法

模板题：


Kruskal算法求最小生成树

给定一个 n个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 EE中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,w，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

　解释尽在code里　

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int p[N];//保存并查集
struct E {
    int a,b,w;
    bool operator < (const E& rhs) { //通过边长进行排序
        return this->w < rhs.w;
    }
} edg[N*2];
int res=0;
int n,m;
int cnt=0;
int find(int a) { //并查集找祖宗
    if(p[a]!=a) p[a]=find(p[a]);
    return p[a];
}
void Kruskal() {
    for(int i=1; i<=m; i++) { //依次尝试加入每条边
        int pa=find(edg[i].a);// a 点所在的集合
        int pb=find(edg[i].b);// b 点所在的集合
        if(pa!=pb) { //如果 a b 不在一个集合中
            res+=edg[i].w;//a b 之间这条边要
            p[pa]=pb;// 合并a b
            cnt++; // 保留的边数量+1
        }
    }
}
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=i; //初始化并查集
    for(int i=1; i<=m; i++) { //读入每条边
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        edg[i]= {a,b,c};
    }
    sort(edg+1,edg+m+1);//按边长排序
    Kruskal();
    if(cnt<n-1) { //如果保留的边小于点数-1，则不能连通
        cout<<"impossible"<<endl;
        return 0;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

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