动态规划

定义：

1.动态规划（Dynamic Programming 简称DP）是解决“多阶段决策问题”的一种高效算法。

2. 通过合理组合子问题的解从而解决整个问题解。其中的子问题并不是独立的，这些子问题又包含有公共的子子问题.

3.动态规划算法就是对每个子问题只求一次，并将其结果保存在一张表中(数组)，以后再用到时直接从表中拿过来使用，避免重复计算相同的子问题.

4.“不做无用功”的求解模式，大大提高了程序的效率.

5. 常用于解决统计类问题（统计方案总数）和最优值问题(最大值或最小值）.

步骤：

1.根据时间或空间确定要去的状态.
2.写出动态规划方程.
3.求解：记忆化搜索；递推（倒推或者正推).

常见DP：

1.坐标型.

2.线性型.

3.区间型.

4.背包型.

5.树型.

例题：（01背包||完全背包请看博客文章）

https://www.cnblogs.com/boranhoushen/articles/16268592.html

https://www.cnblogs.com/boranhoushen/articles/16260203.html

1258：【例9.2】数字金字塔

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

【题目描述】

观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从 $13$

【输入】

第一个行包含 $R (1 \leq R \leq 1000)$

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于 $100$

【输出】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】

5
13
11 8
12 7  26
6  14 15 8
12 7  13 24 11

【输出样例】

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1001][1001],f[1001][1001];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    f[1][1]=a[1][1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];    
        }
    } 
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

1259：【例9.3】求最长不下降序列

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

【题目描述】

设有由 $n (1 \leq n \leq 200)$

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为 $7$

【输入】

第一行为 $n$

【输出】

第一行为输出最大个数 $m a x$

第二行为 $m a x$

【输入样例】

14
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

【输出样例】

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1001],f[1001],p[1001],ans;
void dfs(int i){
    if(p[i]>0) dfs(p[i]);
    cout<<a[i]<<" ";
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    f[1]=1;
    p[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    {
        f[i]=0;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            if(a[j]<=a[i]&&f[j]>f[i])
            {
                f[i]=f[j];
                p[i]=j;
            } 
        f[i]++;
    }
    int ans=0,k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        if(f[i]>ans) ans=f[k=i];
    cout<<"max="<<ans<<endl;
    dfs(k);
    return 0;
}

1270：【例9.14】混合背包

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

【题目描述】

一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 $W_{1} ， W_{2} ， . . ., W_{n}$

【输入】

第一行：二个整数，M(背包容量，M<=200)，N(物品数量，N<=30)；

第2..N+1行：每行三个整数 $W_{i}, C_{i}, P_{i}$

【输出】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

选第一件物品1件和第三件物品2件。

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=201;
int qread () {
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch>'9'||ch<'0') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0'&&ch<='9') {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int i,j,m,n,wi,ci,ti,k,f[N]={0};
int main () {
    m=qread();n=qread();
    for(i=1;i<=n;i++) {
        wi=qread();ci=qread();ti=qread();
        if(ti==0) {
            for(j=wi;j<=m;j++)
              if(f[j]<f[j-wi]+ci) f[j]=f[j-wi]+ci;
        }
        for(k=1;k<=ti;k++) 
          for(j=m;j>=wi;j--)
            if(f[j]<f[j-wi]+ci) f[j]=f[j-wi]+ci;
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

1272：【例9.16】分组背包

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

题目描述】

一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 $W_{1} ， W_{2} ， . . ., W_{n}$

【输入】

第一行：三个整数，V(背包容量，V≤200)，N(物品数量，N≤30)和T(最大组号，T≤10)；

第2..N+1行：每行三个整数 $W_{i}, C_{i}, P$

【输出】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int V,N,T;
int w[31];
int c[31];
int p[11][31];
int dp[201];
int main(){
    cin>>V>>N>>T;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int t;
        cin>>w[i]>>c[i]>>t;
        int len=sizeof(p[t])/sizeof(int);
        for(int j=1;j<=len;j++){
            if(p[t][j]==0){
                p[t][j]=i;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=T;i++){ 
        for(int j=V;j>=0;j--){
            int len=sizeof(p[i])/sizeof(int);
            for(int k=1;k<=len;k++){
                if(j>=w[p[i][k]])
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[p[i][k]]]+c[p[i][k]]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
    return 0;
}

1274：【例9.18】合并石子

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

【题目描述】

在一个操场上一排地摆放着Ｎ堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的２堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

计算出将Ｎ堆石子合并成一堆的最小得分。

【输入】

第一行为一个正整数N (2≤Ｎ≤100)；

以下Ｎ行,每行一个正整数，小于10000，分别表示第i堆石子的个数(1≤i≤N)。

【输出】

一个正整数，即最小得分。

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int min(int a,int b){return a>b ? b:a;}
int f[101][101],s[101],n,k,x;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>x;
        s[i]=s[i-1]+x;
    }
    memset(f,127/3,sizeof(f));        
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0; 
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            for(int k=i;k<=j-1;k++){
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
            }  
        }
    }
    cout<<f[1][n];
    return 0;
}

1281：最长上升子序列

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

题目描述】

一个旅行者有一个最多能装V公斤的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 $W_{1} ， W_{2} ， . . ., W_{n}$

【输入】

第一行：三个整数，V(背包容量，V≤200)，N(物品数量，N≤30)和T(最大组号，T≤10)；

第2..N+1行：每行三个整数 $W_{i}, C_{i}, P$

【输出】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【输入样例】

7
1 7 3 5 9 4 8

【输出样例】

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1001],f[1001],ans;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=0;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]);
        f[i]++;
    }
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

1265：【例9.9】最长公共子序列

时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB

【题目描述】

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列 $X =< x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m} >$

$X_{i j} = Z j$

例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列,相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X＝<A,B,C,B,D,A,B>和Y＝<B,D,C,A,B,A>，则序列<B,C,A>是X和Y的一个公共子序列,序列 <B,C,B,A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列．因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

给定两个序列 $X ＝ < x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{m} >$

【输入】

共有两行。每行为一个由大写字母构成的长度不超过1000的字符串，表示序列X和Y。

【输出】

第一行为一个非负整数。表示所求得的最长公共子序列的长度。若不存在公共子序列．则输出文件仅有一行输出一个整数0。

【输入样例】

ABCBDAB
BDCABA

【输出样例】

【提示】

最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。字符串长度小于等于1000。

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5005;
string X,Y;
int f[MAXN][MAXN];
int main(){
    cin>>X>>Y;
    int n=X.length(),m=Y.length();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(X[i-1]==Y[j-1]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP DP

posted on 2022-07-14 19:37 博然后深阅读(135) 评论(0) 编辑收藏举报

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常见DP：

例题：（01背包||完全背包请看博客文章）

1258：【例9.2】数字金字塔

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

1259：【例9.3】求最长不下降序列

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

1270：【例9.14】混合背包

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

【代码】：

1272：【例9.16】分组背包

题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

1274：【例9.18】合并石子

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

1281：最长上升子序列

题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【代码】：

1265：【例9.9】最长公共子序列

【题目描述】

【输入】

【输出】

【输入样例】

【输出样例】

【提示】

【代码】：