面试题14：剪绳子
解题思路：
书上说的解题办法是动态规划或者贪婪算法。
1)动态规划
动态规划就是把大问题划分为一个一个小的子问题，然后小问题之间还有相互重叠的小问题。
由于子问题在分解大问题的过程中重复出现，我们可以用从下往上的顺序先计算小问题的最
优解并储存起来，再以此为基础求取大问题的最优解。
这个叫从上往下分析问题，从下往上求解问题(听起来好有道理)。
回到这个剪绳子的问题，第一刀切的时候有n-1种选择(1~n-1)，由于不知道那种方法是最优解，
所以我们需要把所有可能的情况都尝试一遍，也就是f(n)=max(f(i),f(n-1))，0<i<n且i属于正整数。
2)贪婪算法
应用贪婪算法的时候，每一步都可以做当前最贪婪的选择，
当把长度为n的绳子剪成长度为k和n-k的绳子时，f(k)=k(n-k)-n=-k^2+n*k-n
如果需要保证剪短之后乘积更大，即k(n-k)>n，应该存在k0使得f(k0)>0。
由二次函数图像知：f(k)max=f(k/2)=(n/4-1)*n，也就是说应该在n>=5的时候才应该剪短，否则是得不偿失的。
当n>=5时，有3*(n-3)>n和2*(n-2)>n，且1*(n-1)<n，4*(n-4)<n，结合函数图像不难推广到全体整数，
所以此时应尽可能多的剪成长度为3或者2的绳子段。
那么现在就要用到贪婪算法了，既然只能剪成3或2，那我就全给他剪成3。
但是如果最后剩下的刚好是长度4，剪成了3+1，得不偿失，这个时候需要接回去，再剪成2*2的。(因为至少剪一刀)
其实动态规划和贪婪算法是非常重要的算法，比如最小生成树的Kruskal和Prim算法，以及单源多点最短路径的
Dijkstra算法都用到了贪婪算法，就是我差不多全忘完了，现在就还记得名字和大概步骤...
应该早点开始写博客和github把这些东西全记录下来的，唉，都怪当初太年轻。
c/c++：
// ====================动态规划====================
int maxProductAfterCutting_solution1(int length) {
if (length < 2)
return 0;
if (length == 2)
return 1;
if (length == 3)
return 2;
int* products = new int[length + 1];
products[0] = 0;
products[1] = 1;
products[2] = 2;
products[3] = 3;
//依次寻找从i到length的最优解
int max = 0;
for (int i = 4; i <= length; i++) {
max = 0;
//寻找i的最优解
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
int product = products[j] * products[i - j];
if (product > max)
max = product;
}
products[i] = max;
}
max = products[length];
delete[] products;
return max;
}
// ====================贪婪算法====================
int maxProductAfterCutting_solution2(int length) {
if (length < 2)
return 0;
if (length == 2)
return 1;
if (length == 3)
return 2;
//尽可能多的减去长度为3的绳子
int timesOf3 = length / 3;
//如果最后是4剪成了3+1，再给他接回去
//因为2*2>3*1
if (length - timesOf3 * 3 == 1)
timesOf3 -= 1;
//剩下的都给剪成长度为2的绳子
int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;
return (int)(pow(3, timesOf3)) * (int)(pow(2, timesOf2));
}
我猜肯定有人和我想的一样，直接把(int)(pow(2, timesOf2))改写成4多好，还算啥啊，浪费时间。
那你真是too young too simple,sometimes naive。
当绳子长度为5，先剪成3，然后剩下了2,(int)(pow(2, timesOf2))计算的结果就是2而不是4.
虽然就这么一种例外情况，但该写的还是要写滴，当然你修改一下return语句简化计算也不是不可以。
