本文主要介绍几种用于解非线性方程$f(x)=0$的一些方法。
（1） Bisection Method.
算法：
step 1: 初始化$a,b(b>a)$，使$f(a),f(b)$异号。
step 2: while (停止条件不满足)
$p=a+\frac{b-a}{2}$；
若 $f(p)f(a)<0$，$b=p$；否则$a=p$。
end while
step 3: 返回的$p$为方程$f(x)=0$的解。
停止条件：
- \begin{equation}|p_N-p_{N-1}|<\epsilon\label{equ:bisection1}\end{equation} .
- \begin{equation}\frac{|p_N-p_{N-1}|}{|p_N|}<\epsilon\label{equ:bisection2}\end{equation}
- \begin{equation}|f(p_N)|<\epsilon\label{equ:bisection3}\end{equation}
若采用式子\ref{equ:bisection1}和\ref{equ:bisection2}作为停止的判断标准，会产生一种情况，即$\lim{n\to\infty}(p_n-p_{n-1})=0$，但序列$\{p_n\}$却发散。即算法可能会停止与$f(p_n)$不等与0处。如$p_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$。若采用式子\ref{equ:bisection3}的判断标准，会产生一种情况，即$|f(p_n)|<\epsilon$，但$|p-p_n|$却很大。如$f(x)=(x-1)^10$，当$p_n=\frac{3}{2}$时$|f(p_n)|<10^{-3}$，但实际上正确解与$p_n$却相差$\frac{1}{2}$。
缺点：收敛太慢，为线性收敛。
（2） 固定点迭代(Fix-point iteration)。
定理：1）函数$g$的定义域为$[a,b]$，且对$\forall x\in[a,b], g(x)\in [a,b]$，那么$g$一定有fixed-point。
2）在$(a,b)$中$g^\prime(x)$存在，且存在$|g^\prime(x)|\leq k<1$，对$\forall x\in (a,b)$成立，那么在$[a,b]$内fixed-point唯一。
证明：1）如果$g(a)=a$或者$g(b)=b$，定理 1）成立。否则$g(a)>a,g(b)<b$，令$h(x)=g(x)-x, h(a)=g(a)-a, h(b)=g(b)-b<0$，根据中值定理，必然存在$p$使$h(p)=g(p)-p=0$。
2）假设$p,q$都是固定点，则$\exists\xi, \frac{g(p)-g(q)}{p-q}=g^\prime(\xi)$。因此：
$$|p-q|=|g(p)-g(q)|=|g^\prime(\xi)||p-q|\leq k|p-q|<|p-q|$$
于$k<1$矛盾，故$p=q$。
算法：
step 1: 初始化$p_0,\epsilon,N_0$；
step 2: for $i=1,...,N_0$
$p=g(p_0)$;
if $|p-p_0|<\epsilon$
break;
$p_0=p$;
end for
step 3: 输出解$p$.
例子：
如果要解决$f(x)=x^3+4x^2-10=0$这个方程，则可转化成$x=x+f(x)=x^3+4x^2+x-10$。
收敛分析：
满足在定义域$[a,b]$内$g(x)\in[a,b]$，并且$|g^\prime(x)|\leq k<1$，那么固定点算法一定收敛。
证明：$$|p_n-p|=|g(p_{n-1})-g(p)|=|g^\prime(\xi_n)||p_{n-1}-p|\leq k|p_{n-1}-p|$$
迭代$|p_n-p|\leq k^n(p_0-p)$，即$\lim_{n\to\infty}|p_n-p|\leq \lim_{n\to\infty}k^n|p_0-p|=0$
其中$k$的大小可以用来表示收敛的快慢，若$k$接近与1，则收敛的慢；若$k$接近于0则收敛的快。
（3）Newton-Raphson Method.
从Taylor展开式看：
$$f(x)=f(\bar{x})+(x-\bar{x})f^\prime(\bar{x})+\frac{(x-\bar{x})^2}{2}f^{\prime\prime}(\xi(x))$$
其中$\xi(x)$介于$x$与$\bar{x}$之间。所以：
$$f(p)=0=f(\bar{x})+(p-\bar{x})f^\prime(\bar{x})+\frac{(p-\bar{x})^2}{2}f^{\prime\prime}(\xi(x))$$
由于$|p-\bar{x}|$很小$\Longrightarrow$ $|p-\bar{x}|^2$更小 $\Longrightarrow$ 故可以近似成：
$$0\approx f(\bar{x})+(p-\bar{x})f^\prime(\bar{x})\Longrightarrow p=\bar{x}-\frac{f(\bar{x})}{f^\prime(\bar{x})}$$
从上式可以得到如下迭代式：
$$p_n=p_{n-1}-\frac{f(p_{n-1})}{f^\prime(p_{n-1})}$$
当$f^\prime(p_{n-1})=0$时就无法进行。有定理证明Newton-Raphson 方法在区间$[p-\delta,p+\delta]$内时一定会收敛到$p$，但并未给出如何寻找这样的$\delta$。
由于$f^\prime(x)$往往很难计算，故提供一种计算$f^\prime(x)$的近似方法。根据导数的定义:$f^\prime(p_{n-1})=\lim_{x\to p_{n-1}}\frac{f(x)-f(p_{n-1})}{x-p_{n-1}}$。
令$x=p_{n-2}$，得到$f^\prime(p_{n-1})=\frac{f(p_{n-2})-f(p_{n-1})}{p_{n-2}-p_{n-1}}$，故其对应的迭代式子：
$$p_n=p_{n-1}-\frac{f(p_{n-1})(p_{n-1}-p_{n-2})}{f(p_{n-1})-f(p_{n-2})}$$，
这种方法称为正割法(Secant method)。从直观上看：
根据Bisection方法的启示下可以得到一种新的迭代，称为试位法(False Position)。它的迭代式与Secant method一样，但在确定迭代式中的$p_0$与$p_1$时采用Bisection method中的方法，即保证新得到的点在$p_0$与$p_1$之间。
（4）关于收敛.
定义：假定$\{p_n\}_{n=0}^\infty$是一个收敛与$p$的序列，且$p_n\neq p$，如果存在正整数$\lambda$和$\alpha$，使$$\lim_{n\to\infty}\frac{|p_{n+1}-p_n|}{|p_n-p|^\alpha}=\lambda$$，那么$\{p_n\}_n^\infty$以order为$\alpha$收敛于$p$，$\lambda$为渐进错误。
当$\alpha=1$时为线性收敛；
当$\alpha=2$时为二次收敛。
理解：
假设$\{p_n\}_{n=0}^\infty$是线性收敛于0，$\lim_{n\to\infty}\frac{|p_{n+1}|}{|p_n|}=0.5$；若$\{p_n\}_{n=1}^\infty$是二次收敛于0，则$\lim_{n\to\infty}\frac{|p_{n+1}|}{|p_n|^2}=0.5$。很显然，二次收敛的速度要快于线性收敛。
Bisection method是线性收敛。Fixed-point iteration的收敛速度是根据函数$g(x)$而定，最优的情况下可以达到二次收敛。Newton-迭代在初始值选择合理的情况下可以达到二次收敛，但若初始值不合理，可能使Newton迭代发散，所以通常较好的做法是先用Bisection迭代一定次数得到的值作为Newton迭代的初始值。Secant Method的迭代order $\alpha=1.62$.
加速收敛：采用Aitken's $\Delta^2$ method加速收敛序列。
当$n$足够大时，对$\{p_n\}_{n=0}^\infty$有：
$$\frac{p_{n+1}-p}{p_n-p}\approx\frac{p_{n+2}-p}{p_{n+1}-p}\Longrightarrow (p_{n+1}-p)^2\approx(p_{n+2}-p)(p_n-p)$$，
所以$p_{n+1}^2-2p_{n+1}p+p^2\approx p_{n+2}p_n-(p_n+p_{n+2})p+p^2$
$$\Longrightarrow (p_{n+2}+p_n-2p_{n+1})p\approx p_{n+2}p_n-p_{n+1}^2$$
\begin{align*}\Longrightarrow p&\approx \frac{p_{n+2}p_n-p_{n+1}^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\\&\approx \frac{p_{n+2}p_n-2p_{n+1}p_n+p_n^2+2p_{n+1}p_n-p_n^2-p_{n+1}^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\\&\approx \frac{p_n(p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n)-(p_n^2-2p_{n+1}p_n+p_{n+1}^2)}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\\&\approx p_n-\frac{(p_n-p_{n+1})^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\end{align*}
Aitken's $\Delta^2$ method 的迭代序列为：
\begin{equation}\tilde{p_n}=p_n-\frac{(p_{n+1}-p_n)^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}\label{equ:aitken}\end{equation}
大概的证明过程如下：
由$\lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p}{p_n-p}=\lambda$且$\lim_{n\to\infty}\frac{\tilde{p_{n+1}}-p}{p_{n+1}-p}=0, \tilde{p_{n+1}}-p=\mathcal{O}(p_{n+1}-p)$
$$\Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{\tilde{p_{n+1}}-p}{\tilde{p_n}-p}=0\Longrightarrow \exists\alpha>0,\lambda, \lim_{n\to\infty}\frac{\tilde{p_{n+1}}-p}{(\tilde{p_n}-p)^\alpha}=\lambda$$
由于Aitken's $\Delta^2$ method 需要初始化三个值，故结合fixed-point method得到 Steffensen's method。初始化一个$p_0^{(0)}, p_1^{(1)}=g(p_0^{(0)}), p_2^{(0)}=g(p_1^{(0)})$， 用Aitken's $\Delta^2$ method迭代式计算$p_0^{(1)}$......
（5）Fisher Scoring迭代。
它是用于解决最大似然方程的一种迭代。由于Newton-Raphson迭代算法对初始值的要求很高，当初始值选的不合理时会产生震荡现象，导致算法无法收敛，而用Fisher Scoring迭代则解决了上诉问题。
使用Newton-Raphson求最大似然估计值，设log似然函数为$l(\theta)$，
其梯度向量：$\nabla l(\theta^t)=[\frac{\partial l}{\partial \theta}]_{\theta^t}$;
海森矩阵：$H(\theta^t)=[\frac{\partial^2l}{\partial\theta_i\partial\theta_j}]_\theta^t$
$l(\theta)$在$\theta^t$处的泰勒展开：
$$l(\theta)=l(\theta^t)+\nabla l(\theta^t)(\theta-\theta^t)+\frac{1}{2}H(\theta^t)(\theta-\theta^t)^2$$
求导：$\frac{\partial l}{\partial\theta}=\nabla l(\theta^t)+H(\theta^t)(\theta-\theta^t)=0$
$\Longrightarrow \theta^{t+1}=\theta^t-[H(\theta^t)]^{-1}\nabla l(\theta^t)$
上述方法的缺点：
- 计算量太大，主要是要计算嗨森矩阵。
- 当$H(\theta^t)$不可逆，或$|H(\theta^t)|\approx 0$时，会产生震荡现象。当$\theta^t$在$\theta^*$附近处$H(\theta^t)$很小，则$\theta^{t+1}=\theta^{t}-\frac{dl/d\theta}{H(\theta^t)}$会变化很大。
