我们首先来回顾kernel函数的定义：一个函数$K(x,y)$为kernel函数当且仅当对$\forall g, \int K(x,y)g(x)g(y)dxdy\geq 0$成立。另外，根据Mercer's theorem，存在一个映射$\Phi$使$K(x,y)=\langle \Phi(x),\Phi(y)\rangle$，并且对任意有限的点，kernel矩阵是半正定的。
一、核函数的封闭性
Hadamard product：
$$\mathbf{A}\circ\mathbf{B}=\left[\begin{array}&a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}&\cdots&a_{1n}b_{1n}\\\vdots\\a_{m1}b_{m1}&a_{m2}b_{m2}&\cdots&a_{mn}b_{mn}\end{array}\right]$$ Kronecked product：
$$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}=\left[\begin{array}&a_{11}\mathbf{B}&a_{12}\mathbf{B}&\cdots&a_{1n}\mathbf{B}\\\vdots\\a_{m1}\mathbf{B}&a_{m2}\mathbf{B}&\cdots&a_{mn}\mathbf{B}\end{array}\right]$$
若$K_1(x,y),K_2(x,y)$为kernel函数，则以下式子仍为kernel函数。
- $K_1(x,y)+K_2(x,y)$
- $aK_1(x,y),\quad (a>0)$
- $K_1(x,y)K_2(x,y)$
- $f(x)f(y)\quad \forall f$
- $x^\prime\mathbf{A}y,\quad \text{for positive semidefinite }\mathbf{A}$
- $f(x)K_1(x,y)f(y), \forall f$
- $q(K_1(x,y))$, 其中$q$是非负系数的多项式
- $exp\{K_1(x,y)\}$
二、例子
令$K(x,y)=(\langle x,y\rangle+C)^d=\sum_{s=0}^d\binom{d}{s}C^s\langle x,y\rangle^{d-s},(C\geq 0)$
这个函数可以看成单项为$\langle x,y\rangle^{d-s}$的一个多项式，系数为$\binom{d}{s}C^s$，所以它是个核函数。当$C=0$时，$(\langle x,y\rangle)^r=(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_my_m)^r$。
可以把上式看成一个单项为$x_1^{i_1}y_1^{i_1}x_2^{i_2}y_2^{i_2}\cdots x_m^{i_m}y_m^{i_m}$所组成的多项式，其中$i_1+i_2+\cdots+i_m=r,i_1,i_2,\cdots,i_m\geq 0$。
令$\Phi(x)\triangleq\left[\begin{array}&\vdots\\x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_m^{i_m}\\\vdots\end{array}\right]$，则$(\langle x,y\rangle)^r=\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=K(x,y)$，可以证明上式的映射$\Phi(x)$为$\binom{M+r-1}{r}$维。
证明：（重复排列的证明）
命题等价于从$1,2,\cdots,m$中选出$r$个数的重复排列。设选出的数为$a_1,a_2,\cdots,a_r$，其中令$a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_r$。命题等价于求满足上述不等式$a_1,a_2,\cdots,a_r$的组合个数。构造$b_1=a_1,b_2=a_2+1,\cdots,b_i=a_i+(i-1),\cdots,b_r=a_r+(r-1)$，其中$b_1<b_2<\cdots<b_r$且$b_i$与$a_i$对应，所以命题又等价于求$b_i$的组合数，而$b_i$取值于$1\sim (n+m-1)$，故$b_i$的组合数为$\binom{n+m-1}{m}$。
从上述可以看出映射后的空间维数是非常大的，而引入核函数使我们只需要利用核函数进行计算，从而可以省去中间的映射过程。
高斯核函数：$K(x,y)=exp\{-\frac{1}{2}\|x-y\|^2\}$，as the pointwise limit of polynomials。高斯核函数对应的映射为无限维。
Pointwise convergence：假定$\{f_n\}$是一个有相同定义域和上域的函数序列，$\{f_n\}$逐点收敛于$f$，记$\lim_{n\to\infty}f_n=f$，当且仅当$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$对$\forall x$属于定义域都成立。
三、不同核函数所对应的映射
对于每一个核函数$K_i$，必定对应着至少一个映射$\Phi_i$。假设$K_1(x,y),K_2(x,y)$对应的映射为$\Phi_1,\Phi_2$，则：
- $K(x,y)=K_1(x,y)+K_2(x,y)$对应的映射为$\Phi(x)=(\Phi_1(x),\Phi_2(x))^\prime$。
- $K(x,y)=aK_1(x,y),a>0$对应的映射为$\Phi(x)=\sqrt{a}\Phi_1(x)$。
- $K(x,y)=K_1(x,y)K_2(x,y)$对应的映射为$\Phi(x)_{ij}=\Phi_1(x)_i\Phi_2(x)_j$,即$\Phi(x)=\left[\begin{array}&\Phi_1(x)_1\Phi_2(x)_1\\\vdots\\\Phi_1(x)_1\Phi_2(x)_n\\\vdots\\\Phi_1(x)_n\Phi_2(x)_1\\\vdots\\\Phi_1(x)_n\Phi_2(x)_n\end{array}\right]$。
- $K(x,y)=f(x)f(y),\forall f$对应的映射的$\Phi(x)=f(x)$。
- $K(x,y)=x^\prime\mathbf{A}y$，其中$\mathbf{A}$为半正定，对应的映射为$\Phi(x)=\mathbf{L}^\prime x$，其中$\mathbf{A}=\mathbf{L}\mathbf{L}^\prime$（Cholesky分解）
四、在映射后的空间中操作
1）$\|\Phi(x)\|=\sqrt{\langle\Phi(x),\Phi(x)\rangle}=\sqrt{K(x,x)}$。
2） 单位化：$\tilde{\Phi}(x)=\frac{\Phi(x)}{\|\Phi(x)\|}$
$$\tilde{K}(x,y)=\langle \tilde{\Phi}(x),\tilde{\Phi}(y)\rangle=\frac{\langle \Phi(x),\Phi(y)\rangle}{\|\Phi(x)\|\|\Phi(y)\|}=\frac{K(x,y)}{\sqrt{k(x,x)K(y,y)}}$$，为正则化的kernel(Normalized kernel)。
3）线性组合的范数
\begin{align*}\|\sum_{i}\alpha_i\Phi(x_i)\|^2&=\langle \sum_i\alpha_i\Phi(x_i),\sum_j\alpha_j\Phi(x_j)\rangle\\&=\sum_{i,j}\alpha_i\alpha_j\langle\Phi(x_i),\Phi(x_j)\rangle\\&=\sum_{i,j}\alpha_i\alpha_jK(x_i,x_j)\\&=\alpha^\prime K\alpha\end{align*}
五、最后
关于kernel的内容有非常多的东西，这里我只是简单的介绍（其实我对kernel也就懂这么点皮毛）。有兴趣的可以看看这本专门介绍kernel的书籍<Kernel Methods for Pattern Analysis>，还有论文<An Introduction to Kernel-Based Learning Algorithms>。
