Kernel典型相关分析
（一）KCCA
同样，我们可以引入Kernel函数，通过非线性的坐标变换达到之前CCA所寻求的目标。首先，假设映射$\Phi_X: x\rightarrow \Phi_X(x), \Phi_Y: y\rightarrow \Phi_Y(y)$，记$\mathbf{\Phi_X}=(\Phi_X(x_1),\Phi_X(x_2),\cdots,\Phi_X(x_p))^\prime, \mathbf{\Phi_Y}=(\Phi_Y(y_1),\Phi_Y(y_2),\cdots,\Phi_Y(y_q))^\prime$。我们要寻找典型变量$u,v$使相关系数最大，其中$u=\langle a,\Phi_X(x)\rangle=\Phi_X^\prime a, v=\langle b,\Phi_Y(y)\rangle=\Phi_Y^\prime b$，$a,b$的维度为映射后的空间。根据上一个笔记的分析，我们应该优化如下模型：
\begin{align}\mathop{\max}&\quad a^\prime\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_Y}b \nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad a^\prime\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}a=1\nonumber\\&\quad b^\prime\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}b=1\label{model:koriginal}\end{align}
此时，如果我们直接优化上面的模型的话，就无法引进Kernel函数，因为我们凑不出$\Phi_X(x)^\prime\Phi_X(y)$这种形式。这样的话，我们就得知道映射$\Phi$的具体形式。但实际上，这里的$a,b$其实是可以表示成数据$\Phi_X(x_1),\cdots,\Phi_X(x_n)$以及数据$\Phi_Y(y_1),\cdots,\Phi_Y(y_n)$的线性组合。原因蛮复杂的，大概是当映射后的Hilbert空间的维度很大，那么这里的$a,b$就一定在数据张成的空间里。具体可以参见一下两篇论文(Nonlinear component analysis as a kernel eigenvalue problem以及Kernel independent component analysis)。另外在KCCA刚提出的那篇论文里（A kernel method for canonical correlation analysis），没有从那么深奥的理论去解释，但他是直接从正则化的KCCA那边出发去解释的，这里也稍微说明一下。正则化的Lagrange函数为：
\begin{equation}L(a,b,\lambda_1,\lambda_2)=a^\prime\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_Y} b-\frac{\lambda_1}{2}(a^\prime\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}a-1)-\frac{\lambda_2}{2}(b^\prime\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}b-1)+\frac{\eta}{2}(\|a\|^2+\|b\|^2)\end{equation}
将Lagrange函数对$a$求导并令导数为零得：
\begin{equation}\frac{\partial L}{\partial a}=\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_Y}b-\lambda_1\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}a+\eta a=0\end{equation}
故$a=\frac{\mathbf{\Phi_X}^\prime(\lambda_1\mathbf{\Phi_X}a-\mathbf{\Phi_Y}b)}{\eta}$，其中我们可以把$\frac{\lambda_1\mathbf{\Phi_X}a-\mathbf{\Phi_Y}b}{\eta}$记作向量$c$，也就是说$a$可以表示成$a=\mathbf{\Phi_X}^\prime c$。同理，$b$也可表示成$b=\mathbf{\Phi_Y}^\prime d$。接下去我们就用$\mathbf{\Phi_X}^\prime c, \mathbf{\Phi_Y}d$来替换$a,b$，先从KCCA开始，然后在引入正则化的KCCA。
利用以上结果模型\ref{model:koriginal}可转化为：
\begin{align}\mathop{\max}&\quad c\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}d\nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad c\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}c=1\nonumber\\&\quad d\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}d=1\label{model:k}\end{align}
我们用核函数$\mathbf{K_X}=\mathbf{\Phi_X}^\prime\mathbf{\Phi_X}$和$\mathbf{K_Y}=\mathbf{\Phi_Y}^\prime\mathbf{\Phi_Y}$代替上述模型得：
\begin{align}\mathop{\max}&\quad c\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d\nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad c\mathbf{K_X}\mathbf{K_X}d=1\nonumber\\&\quad d\mathbf{K_Y}\mathbf{K_Y}d=1\label{model:kernel}\end{align}
对应的Lagrange函数为：
\begin{equation}L(c,d,\lambda_1,\lambda_2)=c^\prime\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d-\frac{\lambda_1}{2}(c^\prime\mathbf{K_X}^2c-1)-\frac{\lambda_2}{2}(d\mathbf{K_Y}^2d-1)\end{equation}
对Lagrange函数求导得：
\begin{align}&\frac{\partial L}{\partial c}=\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d-\lambda_1\mathbf{K_X}^2d=0\label{equ:partialc}\\&\frac{\partial L}{\partial d}=\mathbf{K_Y}\mathbf{K_X}c-\lambda_2\mathbf{K_Y}^2d=0\label{equ:partiald}\end{align}
由$c^\prime$左乘式子\ref{equ:partialc}，$d^\prime$左乘式子\ref{equ:partiald}，相减得：
\begin{equation}\lambda_2d^\prime\mathbf{K_Y}^2d-\lambda_1c^\prime\mathbf{K_X}^2c=0\Longrightarrow \lambda_1=\lambda_2\triangleq \lambda\end{equation}
再结合$c^\prime \mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d-\lambda_1c\mathbf{K_X}^2c=c^\prime\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d-\lambda_1=0$可得：
\begin{equation}\lambda=c\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d\end{equation}
即$\lambda$就是典型变量$u,v$的相关系数。接下去同样采用Note-11中的推导方法，也能得到一个求矩阵特征值的方程。这里就不再赘述了。
现在我们来看一个问题，当$\mathbf{K_X},\mathbf{K_Y}$可逆的情况下，由式子\ref{equ:partiald}可得：$d=\frac{\mathbf{K_Y}^{-2}\mathbf{K_Y}\mathbf{K_X}d}{\lambda}=\frac{\mathbf{K_Y}^{-1}\mathbf{K_X}c}{\lambda}$，将其代入\ref{equ:partialc}得：
\begin{equation}\mathbf{K_XK_YK_Y}^{-1}\mathbf{K_X}c-\lambda^2\mathbf{K_X}^2c=0\Longrightarrow \lambda=1\end{equation}
也就是说，对于任何一个$d$总存在$c$使$u,v$的相关系数为1，显然这样的结果表明了模型出现了过拟合现象。事实上在有些论文中也提到了，当映射后的Hilbert空间的维数很大时，Lagrange函数会产生ill-posed，此时我们引入二次正则项得到一个well-posed Lagrange。也就是正则化的KCCA。
（二）正则化的KCCA
这里介绍两种正则化的KCCA，一种是对Lagrange加入正则项，一种是对限制条件做一下修改。
1) 引入正则项的Lagrange函数为：
\begin{equation}L=c^\prime\mathbf{K_XK_Y}d-\frac{\lambda_1}{2}(c^\prime\mathbf{K_X}^2c-1)-\frac{\lambda_2}{2}(d^\prime\mathbf{K_Y}^2d-1)+\frac{\eta}{2}(\|c\|^2+\|d\|^2)\end{equation}
同样令Lagrange函数的导数为0，得：
\begin{align}&\mathbf{K_XK_Y}d=\lambda(\frac{\lambda_1}{\lambda}\mathbf{K_X}^2-\frac{\eta}{\lambda}\mathbf{I})c\\&\mathbf{K_YK_X}c=\lambda(\frac{\lambda_2}{\lambda}\mathbf{K_Y}^2-\frac{\eta}{\lambda}\mathbf{I})d\end{align}
记$\mathbf{K_O}=\left[\begin{array}&0&\mathbf{K_XK_Y}\\\mathbf{K_Yk_X}&0\end{array}\right]$,$\mathbf{K_D}=\left[\begin{array}&\frac{\lambda_1}{\lambda}\mathbf{K_X}^2+\frac{\eta}{\lambda}\mathbf{I}&0\\0&\frac{\lambda_2}{\lambda}\mathbf{K_Y}^2+\frac{\eta}{\lambda}\mathbf{I}\end{array}\right]$,$\gamma=\left[\begin{array}&c\\d\end{array}\right]$，则：
\begin{equation}\mathbf{K_O}\gamma=\lambda\mathbf{K_D}\gamma\Longrightarrow\mathbf{K_D}^{-1}\mathbf{K_O}\gamma=\lambda\gamma\end{equation}
得到一个求特征值的问题。
2）对限制条件作修改后的模型为：
\begin{align}\mathop{\max}&\quad c^\prime\mathbf{K_X}\mathbf{K_Y}d\nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad(1-\tau)c^\prime\mathbf{K_X}^2c+\tau c^\prime\mathbf{K_X}c=1\nonumber\\&\quad(1-\tau)d^\prime\mathbf{K_Y}^2d+\tau d\mathbf{K_Y}d=1\end{align}
其Lagrange函数为：
\begin{equation}L=c^\prime\mathbf{K_XK_Y}d-\frac{\lambda_1}{2}[(1-\tau)c^\prime\mathbf{K_X}^2c+\tau c^\prime\mathbf{K_X}c-1]-\frac{\lambda_2}{2}[(1-\tau)d^\prime\mathbf{K_Y}^2d+\tau d^\prime\mathbf{K_Y}d-1]\end{equation}
求导：
\begin{align}&\frac{\partial L}{\partial c}=\mathbf{K_XK_Y}d-\lambda_1[(1-\tau)\mathbf{K_X}^2c+\tau\mathbf{K_X}c]\label{equ:partialconc}\\&\frac{\partial L}{\partial d}=\mathbf{K_YK_X}c-\lambda_2[(1-\tau)\mathbf{K_Y}^2d+\tau\mathbf{K_Y}d]\label{equ:partialcond}\end{align}
$c^\prime\times$\ref{equ:partialconc}，$d^\prime\times$\ref{equ:partialcond}，相减得到：
\begin{align*}&\lambda_1c^\prime[(1-\tau)\mathbf{K_X}^2c+\tau\mathbf{K_X}c]=\lambda_2d^\prime[(1-\tau)\mathbf{K_Y}^2d+\tau\mathbf{K_Y}d]\\\Longrightarrow&\lambda_1=\lambda_2=\lambda=c^\prime\mathbf{K_XK_Y}d\end{align*}
同样记$\mathbf{K_O}=\left[\begin{array}&0&\mathbf{K_XK_Y}\\\mathbf{K_YK_X}&0\end{array}\right]$，$\mathbf{K_D}=\left[\begin{array}&(1-\tau)\mathbf{K_X}^2+\tau\mathbf{K_X}&0\\0&(1-\tau)\mathbf{K_Y}^2+\tau\mathbf{K_Y}\end{array}\right]$，$\gamma=\left[\begin{array}&c\\d\end{array}\right]$，则$\mathbf{K_O}\gamma=\lambda\mathbf{K_D}\gamma$，得到一个求特征值的问题。
（三）Cholesky Decomposition
由于解上述特征值问题时会遇到效率与精度问题，故可对上述的矩阵进行SVD分解，或对上述正定矩阵进行完全Cholesky分解，或者不完全Cholesky分解。
1）完全Cholesky分解
a) 对于一个正定矩阵$\mathbf{A}$，我们总可以将$\mathbf{A}$分解成三角矩阵相乘的形式，即$\mathbf{A}=\mathbf{LL}^\prime$，其中$\mathbf{L}$为下三角矩阵。由$\mathbf{A}=\mathbf{LL}^\prime$可知：
\begin{equation*}a_{ij}=\sum_{k=1}^{j}l_{ik}l_{jk}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk}+l_{ij}l_{jj},\quad j<i\end{equation*}
所以，由$a_{jj}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}^2+l_{jj}^2\Longrightarrow l_{jj}^2=a_{jj}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}^2$，继而$l_{ij}=\frac{1}{l_{jj}}(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk})$。从上述方程可以看出$\mathbf{L}$的计算过程从左到右，逐列计算，称为left-looking cholesky。
b) 由$\mathbf{A}=\mathbf{LL}^\prime=\left[\begin{array}&\lambda_{11}&0\\l_1&\tilde{\mathbf{L}}\end{array}\right]\left[\begin{array}&\lambda_{11}&0\\l_1&\tilde{\mathbf{L}}\end{array}\right]^\prime=\left[\begin{array}&a_{11}&a_1^\prime\\a_1&\tilde{\mathbf{A}}\end{array}\right]$。所以：
$$a_{11}=\lambda_{11}^2\Longrightarrow \lambda_{11}=\sqrt{a_{11}}$$
$$a_1=\lambda_{11}l_1\Longrightarrow l_1=\frac{a_1}{\sqrt{a_{11}}}$$
$$\tilde{\mathbf{A}}=l_1l_1^\prime+\tilde{\mathbf{L}}\tilde{\mathbf{L}}^\prime\Longrightarrow\tilde{\mathbf{L}}\tilde{\mathbf{L}}^\prime=\tilde{\mathbf{A}}-\frac{a_1a_1^\prime}{a_{11}}$$
可以用递归的方式不断的计算出$\tilde{\mathbf{L}}$，称为right-looking cholesky。
2）不完全cholesky分解
与完全cholesky分解不同，不完全cholesky分解的目标是寻找一个矩阵$\tilde{\mathbf{G}}_{N\times M}$（其中$M<<N$），使$\mathbf{A}\approx\tilde{\mathbf{G}}\tilde{\mathbf{G}}^\prime$，即$\|\mathbf{A}-\tilde{\mathbf{G}}\tilde{\mathbf{G}}^\prime\|_F<\eta$，这里的$\tilde{\mathbf{G}}$也是下三角矩阵。其中算法的主要原理是：如果对角元素$l_{ii}$很小的话，那么我们可以把该列去掉，去掉该列之后，在其后的列都必须进行更新。算法从最大的对角元素开始，然后把该列交换到最前面，然后进行更新。算法流程：
Input: $N\times N$正定矩阵$\mathbf{K}$，和$\eta$.
- 初始化：$i=1,\mathbf{\bar{K}}=\mathbf{K},\mathbf{P}=\mathbf{I},\mathbf{G}=0$，$G_{jj}=K_{jj}, j=1,\cdots,N$.
- while $\sum_{j=i}^NG_{jj}>\eta$
- 找出最大的$G_{jj}$: $j^*=\mathop{argmax}_{j\in[i,N]} G_{jj}$.
- 更新交换矩阵$\mathbf{P}$:
$Pnext = \mathbf{I}$, $Pnext_{ii}=0$, $Pnext_{j^*j^*}=0$, $Pnext_{ij^*}=1$, $Pnext_{j^*i}=1$（Pnext为交换$i,j^*$行或列的交换矩阵），$\mathbf{P}=\mathbf{P}Pnext$
- 对$\mathbf{\bar{K}}$进行行列交换：$\mathbf{\bar{K}}=Pnext\mathbf{\bar{K}}Pnext$.
- 交换矩阵$\mathbf{G}$中第$i$行和第$j^*$行，注意只交换前$i$个元素，$j^*\geq i$: $\mathbf{G}_{i,1:i}\longleftrightarrow\mathbf{G}_{j^*,1:i}$.
- $\mathbf{G}_{ii}=\sqrt{\mathbf{\bar{K}}_{ii}}$.
- 更新第$i$列$\mathbf{G}$: $\mathbf{G}_{i+1:n,i}=\frac{1}{\mathbf{G}_{ii}}(\mathbf{\bar{K}}_{i+1:N,i}-\sum_{i=1}^{i-1}\mathbf{G}_{i+1:N,j}\mathbf{G}_{ij})$.
- 更新$i$后面的对角元素：for $j\in[i+1,N], \mathbf{G}_{jj}=\mathbf{K}_{jj}-\sum_{k=1}^i\mathbf{G}_{jk}^2$.
- $i=i+1$.
- 得到$\mathbf{P},\mathbf{G}$，$M=i-1$.
Output: 一个$N\times M$的矩阵$\mathbf{G}$，和交换矩阵$\mathbf{P}$，使$\|\mathbf{PKP}^\prime-\mathbf{GG}^\prime\|\leq\eta$.
