协方差公式： 𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=𝐸{[𝑋−𝐸𝑋][𝑌−𝐸𝑌]}=𝐸(𝑋𝑌)−𝐸𝑋∙𝐸𝑌 推导

协方差公式：

𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=𝐸{[𝑋−𝐸𝑋][𝑌−𝐸𝑌]}=𝐸(𝑋𝑌)−𝐸𝑋∙𝐸𝑌
推导

 

 

如下是协方差公式的详细推导：
首先，协方差的定义是：

Cov(X,Y) = E{[X−EX][Y−EY]}

将期望的定义（期望值是随机变量所有可能取值的概率加权平均）带入，我们可以得到：

Cov(X,Y) = ∑∑(x−EX)(y−EY)P(X=x,Y=y)

这个公式可以拆分为：

Cov(X,Y) = ∑∑x*y*P(X=x,Y=y) - ∑∑x*EX*P(X=x,Y=y) - ∑∑y*EY*P(X=x,Y=y) + EX*EY*∑∑P(X=x,Y=y)

 

注意到 ∑∑xEXP(X=x,Y=y) 和 ∑∑yEYP(X=x,Y=y) 都等于 EXEY，这是因为EX和EY是常数，可以提出求和符号，而∑∑xP(X=x,Y=y)和∑∑yP(X=x,Y=y)分别等于EX和EY（见后例子）。而 ∑∑P(X=x,Y=y) 是所有概率的和，等于1，所以我们得到：

Cov(X,Y) = ∑∑x*y*P(X=x,Y=y) - EX*EY - EX*EY + EX*EY

化简后，我们得到：

 

Cov(X,Y) = E(XY) - EX*EY

 

 

 

 ∑∑xP(X=x,Y=y) 等于 EX，举一个示例说明：

假设我们有一个随机变量X，它表示一个人每天打篮球的时间（小时），可能的取值为{1, 2, 3}。另一个随机变量Y表示天气，可能的取值为{晴天, 阴天}。我们有以下联合概率分布：

| X\Y | 晴天 | 阴天 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 0.2 | 0.1 |
| 2 | 0.3 | 0.1 |
| 3 | 0.2 | 0.1 |

我们可以计算EX，即X的期望值，如下：

EX = ∑xP(X=x) = 1P(X=1) + 2P(X=2) + 3P(X=3)

首先，我们需要计算P(X=1)，P(X=2)和P(X=3)。这些是X的边缘概率，可以通过将Y的所有可能取值的概率相加得到：

P(X=1) = P(X=1,Y=晴天) + P(X=1,Y=阴天) = 0.2 + 0.1 = 0.3
P(X=2) = P(X=2,Y=晴天) + P(X=2,Y=阴天) = 0.3 + 0.1 = 0.4
P(X=3) = P(X=3,Y=晴天) + P(X=3,Y=阴天) = 0.2 + 0.1 = 0.3

然后，我们可以计算EX：

EX = 10.3 + 20.4 + 30.3 = 2

这就是随机变量X的期望值。