leetcode算法之动态规划总结（11种DP类型，70道全部搞懂）——总结非常全面

简介

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，将问题分解为互相重叠的子问题，通过反复求解子问题来解决原问题就是动态规划，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划来解是比较有效的。

求解动态规划的核心问题是穷举，但是这类问题穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会极其低下。动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。另外，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，只有列出**正确的「状态转移方程」**才能正确地穷举。重叠子问题、最优子结构、状态转移方程就是动态规划三要素

动态规划和其他算法的区别

1. 动态规划和分治的区别：动态规划和分治都有最优子结构 ，但是分治的子问题不重叠
2. 动态规划和贪心的区别：动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优解，所以它永远是局部最优，但是全局的解不一定是最优的。
3. 动态规划和递归的区别：递归和回溯可能存在非常多的重复计算，动态规划可以用递归加记忆化的方式减少不必要的重复计算

动态规划的解题方法

• 递归+记忆化(自顶向下)
• 动态规划（自底向上）

 

 

 

 

下面通过例子由浅至深详细讲解。
所有例题均来自leetcode，所示代码均通过所有测试。

参考文章，将所有的DP问题分成11大类，本文将每一类的题目进行补充，并对这些题目的解法进行探讨。

题目

1、线性 DP

• 最经典单串：
  300.最长上升子序列 中等

• 其他单串
  32.最长有效括号 困难
  376.摆动序列
  368.最大整除子集
  410.分割数组的最大值

• 最经典双串：
  1143.最长公共子序列 中等

• 其他双串
  97.交错字符串 中等
  115.不同的子序列 困难
  583.两个字符串的删除操作

• 经典问题：
  53.最大子序和 简单
  120.三角形最小路径和 中等
  152.乘积最大子数组 中等
  354.俄罗斯套娃信封问题
  887.鸡蛋掉落（DP+二分） 困难

• 打家劫舍系列: (打家劫舍3 是树形DP)
  198.打家劫舍 中等
  213.打家劫舍 II 中等

• 股票系列:
  121.买卖股票的最佳时机
  122.买卖股票的最佳时机 II
  123.买卖股票的最佳时机 III
  188.买卖股票的最佳时机 IV
  309.最佳买卖股票时机含冷冻期
  714.买卖股票的最佳时机含手续费

• 字符串匹配系列
  72.编辑距离 困难
  44.通配符匹配 困难
  10.正则表达式匹配 困难

• 其他
  375.猜数字大小 II

2、区间 DP

5.最长回文子串 中等
516.最长回文子序列
87. 扰乱字符串 困难
312.戳气球 困难
730.统计不同回文子字符串
1039.多边形三角剖分的最低得分
664.奇怪的打印机
1246. 删除回文子数组

3、背包 DP

377. 组合总和 Ⅳ
416.分割等和子集 (01背包-要求恰好取到背包容量)
494.目标和 (01背包-求方案数)
322.零钱兑换 (完全背包)
518.零钱兑换 II (完全背包-求方案数)
474.一和零 (二维费用背包)

4、树形 DP

124.二叉树中的最大路径和 困难
1245.树的直径 (邻接表上的树形DP)
543.二叉树的直径 简单
333.最大 BST 子树
337.打家劫舍 III 中等

5、状态压缩 DP

464.我能赢吗
526.优美的排列
935.骑士拨号器
1349.参加考试的最大学生数

6、数位 DP

233.数字 1 的个数 困难
902.最大为 N 的数字组合
1015.可被 K 整除的最小整数

7、计数型 DP

计数型DP都可以以组合数学的方法写出组合数，然后dp求组合数
62.不同路径
63.不同路径 II
96.不同的二叉搜索树
1259.不相交的握手 (卢卡斯定理求大组合数模质数)

8、递推型 DP

70.爬楼梯
509.斐波那契数
576. 出界的路径数
688. “马”在棋盘上的概率
935.骑士拨号器
957.N 天后的牢房
1137.第 N 个泰波那契数

9、概率型 DP

求概率，求数学期望
808.分汤
837.新21点

10、博弈型 DP

策梅洛定理，SG 定理，minimax

• 翻转游戏
  293.翻转游戏
  294.翻转游戏 II

• Nim游戏
  292.Nim 游戏

• 石子游戏
  877.石子游戏
  1140.石子游戏 II

• 井字游戏
  348.判定井字棋胜负
  794.有效的井字游戏
  1275.找出井字棋的获胜者

11、记忆化搜索

本质是 dfs + 记忆化，用在状态的转移方向不确定的情况
329.矩阵中的最长递增路径
576.出界的路径数

 

详见原文：

https://blog.csdn.net/pl0321/article/details/115507286