切比雪夫不等式——用于异常检测，基本假设：“几乎所有”值都会“接近”平均，如果偏差大就认为异常

切比雪夫不等式

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Disambig gray.svg  本文介绍的是概率论的切比雪夫不等式。关于牵涉到级数的不等式，请见“切比雪夫总和不等式”。

在概率论中，切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality）显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（英语：Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（英语：Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意{\displaystyle b>0}b>0，有：

{\displaystyle P(|X-E(X)|\geqslant b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}}{\displaystyle P(|X-E(X)|\geqslant b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}}

概念[编辑]

这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：

  • 与平均相差2个标准差以上的值，数目不多于1/4
  • 与平均相差3个标准差以上的值，数目不多于1/9
  • 与平均相差4个标准差以上的值，数目不多于1/16

……

  • 与平均相差k个标准差以上的值，数目不多于1/k2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。
公式：{\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}

推论[编辑]

测度论说法[编辑]

设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，

{\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

{\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

{\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}

概率论说法[编辑]

设{\displaystyle X}X为随机变量，期望值为{\displaystyle \mu }\mu ，标准差为{\displaystyle \sigma }\sigma 。对于任何实数k>0，

{\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.

改进[编辑]

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

{\displaystyle \Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})}\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})
{\displaystyle \Pr(X=0)=1-1/k^{2}}\Pr(X=0)=1-1/k^{2}

这个分布的标准差{\displaystyle \sigma =1/k}\sigma =1/k，{\displaystyle \mu =0}\mu=0。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 {\displaystyle 1-1/k^{2}}1-1/k^{2} 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

{\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.[1]

证明[编辑]

定义{\displaystyle ~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}}~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}，设{\displaystyle 1_{A_{t}}}1_{{A_{t}}}为集{\displaystyle ~A_{t}}~A_{t}的指标函数，有

{\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,}0\leq g(t)1_{{A_{t}}}\leq g\circ f\,1_{{A_{t}}}\leq g\circ f,
{\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .}g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{{A_{t}}}\,d\mu \leq \int _{{A_{t}}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有{\displaystyle \Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a}\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E}(|Y|)/a。取{\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}Y=(X-\mu )^{2}及{\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}a=(k\sigma )^{2}。

亦可从概率论的原理和定义开始证明：

{\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E}(I_{{|X-\mu |\geq k\sigma }})=\operatorname {E}(I_{{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1}})
{\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.}\leq \operatorname {E}\left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E}((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • 《基本统计学 观念与应用二版》，林惠玲 陈正仓 著
  • 《应用统计学 第四版》 修订版，林惠玲 陈正仓 著
posted @ 2019-06-19 20:33  bonelee  阅读(3312)  评论(0)  编辑  收藏  举报