BFPRT 算法 (TOP-K 问题)——本质就是在利用分组中位数的中位数来找到较快排更合适的pivot元素

先说快排最坏情况下的时间复杂度为n^2。

正常情况：

最坏的情况下，待排序的记录序列正序或逆序，每次划分只能得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，（另一个子序列为空）。此时，必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i次比较才能找个才能找到第i个记录的位置，因此时间复杂度为

所以BFPRT本质上是在寻找正确的pivot元素！！！避免这种最坏情况出现。

在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。算法步骤如下：

1. 将 $n$ 个元素划为 $\lfloor n/5\rfloor$ 组，每组5个，至多只有一组由 $n\bmod5$ 个元素组成。
2. 寻找这 $\lceil n/5\rceil$ 个组中每一个组的中位数，这个过程可以用插入排序。
3. 对步骤2中的 $\lceil n/5\rceil$ 个中位数，重复步骤1和步骤2，递归下去，直到剩下一个数字。
4. 最终剩下的数字即为pivot，把大于它的数全放左边，小于等于它的数全放右边。
5. 判断pivot的位置与k的大小，有选择的对左边或右边递归。

当你看到本质上后，至于”首先把数组按5个数为一组进行分组，最后不足5个的忽略。 ” 、“偶数个元素的中位数取中间2个中较小的一个。”这些小细节都是无关紧要的了！！！

下面为代码实现，其所求为前 k 小的数：

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#include <iostream>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
int InsertSort(int array[], int left, int right);
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right);
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index);
int BFPRT(int array[], int left, int right, int k);
 
int main()
{
    int k = 8; // 1 <= k <= array.size
    int array[20] = { 11,9,10,1,13,8,15,0,16,2,17,5,14,3,6,18,12,7,19,4 };
 
    cout << "原数组：";
    for (int i = 0; i < 20; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;
 
    // 因为是以 k 为划分，所以还可以求出第 k 小值
    cout << "第 " << k << " 小值为：" << array[BFPRT(array, 0, 19, k)] << endl;
 
    cout << "变换后的数组：";
    for (int i = 0; i < 20; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;
 
    return 0;
}
 
/**
 * 对数组 array[left, right] 进行插入排序，并返回 [left, right]
 * 的中位数。
 */
int InsertSort(int array[], int left, int right)
{
    int temp;
    int j;
 
    for (int i = left + 1; i <= right; i++)
    {
        temp = array[i];
        j = i - 1;
        while (j >= left && array[j] > temp)
            array[j + 1] = array[j--];
        array[j + 1] = temp;
    }
 
    return ((right - left) >> 1) + left;
}
 
/**
 * 数组 array[left, right] 每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，
 * 最后返回这些中位数的中位数下标（即主元下标）。
 *
 * @attention 末尾返回语句最后一个参数多加一个 1 的作用其实就是向上取整的意思，
 * 这样可以始终保持 k 大于 0。
 */
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right)
{
    if (right - left < 5)
        return InsertSort(array, left, right);
 
    int sub_right = left - 1;
 
    // 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边
    for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5)
    {
        int index = InsertSort(array, i, i + 4);
        swap(array[++sub_right], array[index]);
    }
 
    // 利用 BFPRT 得到这些中位数的中位数下标（即主元下标）
    return BFPRT(array, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);
}
 
/**
 * 利用主元下标 pivot_index 进行对数组 array[left, right] 划分，并返回
 * 划分后的分界线下标。
 */
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index)
{
    swap(array[pivot_index], array[right]); // 把主元放置于末尾
 
    int partition_index = left; // 跟踪划分的分界线
    for (int i = left; i < right; i++)
    {
        if (array[i] < array[right])
        {
            swap(array[partition_index++], array[i]); // 比主元小的都放在左侧
        }
    }
 
    swap(array[partition_index], array[right]); // 最后把主元换回来
 
    return partition_index;
}
 
/**
 * 返回数组 array[left, right] 的第 k 小数的下标
 */
int BFPRT(int array[], int left, int right, int k)
{
    int pivot_index = GetPivotIndex(array, left, right); // 得到中位数的中位数下标（即主元下标）
    int partition_index = Partition(array, left, right, pivot_index); // 进行划分，返回划分边界
    int num = partition_index - left + 1;
 
    if (num == k)
        return partition_index;
    else if (num > k)
        return BFPRT(array, left, partition_index - 1, k);
    else
        return BFPRT(array, partition_index + 1, right, k - num);
}

运行如下：

原数组：11 9 10 1 13 8 15 0 16 2 17 5 14 3 6 18 12 7 19 4
第 8 小值为：7
变换后的数组：4 0 1 3 2 5 6 7 8 9 10 12 13 14 17 15 16 11 18 19

性能分析：

划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到n/5个中位数，再递归求取中位数，复杂度为T(n/5)。

得到的中位数x作为主元进行划分，在n/5个中位数中，主元x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，主元x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。

在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为c*n，其中c为常数。其总的时间复杂度满足 T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n。

我们假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n，得到 x<=10*c。于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得n个数中的第k个数。