BFPRT 算法 (TOP-K 问题)——本质就是在利用分组中位数的中位数来找到较快排更合适的pivot元素
先说快排最坏情况下的时间复杂度为n^2。
正常情况：
最坏的情况下，待排序的记录序列正序或逆序，每次划分只能得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，（另一个子序列为空）。此时，必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i次比较才能找个才能找到第i个记录的位置，因此时间复杂度为
在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。算法步骤如下：
1. 将 个元素划为
组，每组5个，至多只有一组由
个元素组成。
2. 寻找这 个组中每一个组的中位数，这个过程可以用插入排序。
3. 对步骤2中的 个中位数，重复步骤1和步骤2，递归下去，直到剩下一个数字。
4. 最终剩下的数字即为pivot，把大于它的数全放左边，小于等于它的数全放右边。
5. 判断pivot的位置与k的大小，有选择的对左边或右边递归。
当你看到本质上后，至于”首先把数组按5个数为一组进行分组，最后不足5个的忽略。 ” 、“偶数个元素的中位数取中间2个中较小的一个。”这些小细节都是无关紧要的了！！！
下面为代码实现，其所求为前 k 小的数：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int InsertSort(int array[], int left, int right);
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right);
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index);
int BFPRT(int array[], int left, int right, int k);
int main()
{
int k = 8; // 1 <= k <= array.size
int array[20] = { 11,9,10,1,13,8,15,0,16,2,17,5,14,3,6,18,12,7,19,4 };
cout << "原数组：";
for (int i = 0; i < 20; i++)
cout << array[i] << " ";
cout << endl;
// 因为是以 k 为划分，所以还可以求出第 k 小值
cout << "第 " << k << " 小值为：" << array[BFPRT(array, 0, 19, k)] << endl;
cout << "变换后的数组：";
for (int i = 0; i < 20; i++)
cout << array[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}
/**
* 对数组 array[left, right] 进行插入排序，并返回 [left, right]
* 的中位数。
*/
int InsertSort(int array[], int left, int right)
{
int temp;
int j;
for (int i = left + 1; i <= right; i++)
{
temp = array[i];
j = i - 1;
while (j >= left && array[j] > temp)
array[j + 1] = array[j--];
array[j + 1] = temp;
}
return ((right - left) >> 1) + left;
}
/**
* 数组 array[left, right] 每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，
* 最后返回这些中位数的中位数下标（即主元下标）。
*
* @attention 末尾返回语句最后一个参数多加一个 1 的作用其实就是向上取整的意思，
* 这样可以始终保持 k 大于 0。
*/
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right)
{
if (right - left < 5)
return InsertSort(array, left, right);
int sub_right = left - 1;
// 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边
for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5)
{
int index = InsertSort(array, i, i + 4);
swap(array[++sub_right], array[index]);
}
// 利用 BFPRT 得到这些中位数的中位数下标（即主元下标）
return BFPRT(array, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);
}
/**
* 利用主元下标 pivot_index 进行对数组 array[left, right] 划分，并返回
* 划分后的分界线下标。
*/
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index)
{
swap(array[pivot_index], array[right]); // 把主元放置于末尾
int partition_index = left; // 跟踪划分的分界线
for (int i = left; i < right; i++)
{
if (array[i] < array[right])
{
swap(array[partition_index++], array[i]); // 比主元小的都放在左侧
}
}
swap(array[partition_index], array[right]); // 最后把主元换回来
return partition_index;
}
/**
* 返回数组 array[left, right] 的第 k 小数的下标
*/
int BFPRT(int array[], int left, int right, int k)
{
int pivot_index = GetPivotIndex(array, left, right); // 得到中位数的中位数下标（即主元下标）
int partition_index = Partition(array, left, right, pivot_index); // 进行划分，返回划分边界
int num = partition_index - left + 1;
if (num == k)
return partition_index;
else if (num > k)
return BFPRT(array, left, partition_index - 1, k);
else
return BFPRT(array, partition_index + 1, right, k - num);
}
运行如下：
原数组：11 9 10 1 13 8 15 0 16 2 17 5 14 3 6 18 12 7 19 4
第 8 小值为：7
变换后的数组：4 0 1 3 2 5 6 7 8 9 10 12 13 14 17 15 16 11 18 19
性能分析：
划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到n/5个中位数，再递归求取中位数，复杂度为T(n/5)。
得到的中位数x作为主元进行划分，在n/5个中位数中，主元x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，主元x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。
在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为c*n，其中c为常数。其总的时间复杂度满足 T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n。
我们假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n，得到 x<=10*c。于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得n个数中的第k个数。
时间复杂度为O（n）的原因
我们选取的x可以在每次递归的时候最少淘汰（n/10-2）x3的数据量
详细的时间复杂度分析见：https://blog.csdn.net/LaoJiu_/article/details/54986553
