【SSSP】A forward-backward single-source paths algorithm

0. 引子
基础的算法和数据结构已经学习的差不多了，上学期期末就打算重点研究研究STOC和FOCS上面的论文。
做这件事情的初衷是了解别人是如何改进原有算法的，搞清楚目前比较热的算法问题有哪些，更重要的是acm的很多算法或者
书里的算法都是别人整理的，很多年以前的了，学习新东西总会有很多收获的。

关于算法，很多人认为不需要了解太多。大二以前吧，我也是这么认为的，大二以后我就不这么想了。
真的，算法是一件很神奇的事情。不了解的人永远不懂，你写的代码没用到你学习的算法只能说明一个问题——你做的东西太太太简单了。

1. 简介
SSSP: Single Source Shortest Paths.
APSP: All Pairs Shortest Paths.
这篇论文质量挺高的，基本没有错误，同时算法也确实可以提高效率。两位作者也一直致力于这方面的研究。
forward-backward(以下简称FB)算法主要用来解单源最短路径问题。
对于SSSP问题，熟知的算法主要有Dijkstrea(我认为文中所说的Dijkstra并不是O(n^2)的，而是类似于优先级队列实现的SPFA的)，使用Fibo堆（见算法导论）时间复杂度O(m+nlgn)。
而文中提到的Spira则是我们不熟知的算法，效率也很不错。这个算法最早在1950-1960年提出。Spira算法成立的前提是，对于每个结点u的邻接链表，按照边的权重单调非递减顺序排序。
新的SSSP算法基于这样一个前提：对于K_n的图，有很高的概率仅需要检测Omega(nlgn)条边。
简单说，由于排序后的有序关系，我们可以建立某些限制条件，使得有些边不需要检测。这边论文的精华就是限制条件建立的巧妙，而且恰恰可以保证最短路径的性质。

2. Spira算法

Spira算法每次while循环中从队列P取出的边(u->v)，都是当前s起始的最短路径。如果v不在S内，则说明该路径就是s到v的最短路径。
每当从队列释放一条路径时，就对u进行一次forward；每当把v加入S中，就对v进行一次forward。
forward操作可以理解成对SPT（Shortest Paths Tree）的拓展操作，这棵树的根节点为s。
理解清楚forward操作，基本上也就理解了Spira算法了。算法源代码如下

  1 /* Spira */
  2 #include <iostream>
  3 #include <string>
  4 #include <map>
  5 #include <queue>
  6 #include <set>
  7 #include <stack>
  8 #include <vector>
  9 #include <deque>
 10 #include <algorithm>
 11 #include <cstdio>
 12 #include <cmath>
 13 #include <ctime>
 14 #include <cstring>
 15 #include <climits>
 16 #include <cctype>
 17 #include <cassert>
 18 #include <functional>
 19 #include <iterator>
 20 #include <iomanip>
 21 using namespace std;
 22 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,1024000")
 23 
 24 #define sti                set<int>
 25 #define stpii            set<pair<int, int> >
 26 #define mpii            map<int,int>
 27 #define vi                vector<int>
 28 #define pii                pair<int,int>
 29 #define vpii            vector<pair<int,int> >
 30 #define rep(i, a, n)     for (int i=a;i<n;++i)
 31 #define per(i, a, n)     for (int i=n-1;i>=a;--i)
 32 #define clr                clear
 33 #define pb                 push_back
 34 #define mp                 make_pair
 35 #define fir                first
 36 #define sec                second
 37 #define all(x)             (x).begin(),(x).end()
 38 #define SZ(x)             ((int)(x).size())
 39 #define lson            l, mid, rt<<1
 40 #define rson            mid+1, r, rt<<1|1
 41 
 42 typedef struct node_t {
 43     int u, v, w;
 44     node_t() {}
 45     node_t(int u_, int v_, int w_):
 46         u(u_), v(v_), w(w_) {}
 47     friend bool operator< (const node_t& a, const node_t& b) {
 48         return a.w > b.w;
 49     }
 50 } node_t;
 51 
 52 const int INF = 0x1f1f1f1f;
 53 const int maxv = 205;
 54 const int maxe = maxv * maxv + 5;
 55 node_t ND[maxe];
 56 int dis[maxv];
 57 bool inS[maxv];
 58 int nv, ne;
 59 int V[maxe], W[maxe], nxt[maxe];
 60 int head[maxv], head_[maxv];
 61 
 62 void addEdge(int u, int v, int w) {
 63     V[ne] = v;
 64     W[ne] = w;
 65     nxt[ne] = head_[u];
 66     head_[u] = ne++;
 67 }
 68 
 69 void forward(priority_queue<node_t>& Q, int u) {
 70     int& k = head[u];
 71 
 72     if (k != -1) {
 73         Q.push(node_t(u, V[k], dis[u]+W[k]));
 74         k = nxt[k];
 75     }
 76 }
 77 
 78 void spira(int s = 1) {
 79     priority_queue<node_t> Q;
 80     node_t nd;
 81 
 82     memset(inS, false, sizeof(inS));
 83     memset(dis, INF, sizeof(dis));
 84     memcpy(head, head_, sizeof(head));
 85     inS[s] = true;
 86     dis[s] = 0;
 87     forward(Q, s);
 88 
 89     while (!Q.empty()) {
 90         nd = Q.top();
 91         Q.pop();
 92         forward(Q, nd.u);
 93         if (!inS[nd.v]) {
 94             inS[nd.v] = true;
 95             dis[nd.v] = nd.w;
 96             forward(Q, nd.v);
 97         }
 98     }
 99 }
100 
101 void input() {
102     int m;
103 
104     scanf("%d %d", &nv, &m);
105     rep(i, 0, m)
106         scanf("%d %d %d", &ND[i].u, &ND[i].v, &ND[i].w);
107 
108     ne = 0;
109     memset(head_, -1, sizeof(head_));
110     
111     // pre sort
112     sort(ND, ND+m);
113     rep(i, 0, m)
114         addEdge(ND[i].u, ND[i].v, ND[i].w);
115 }
116 
117 void solve() {
118     spira();
119 
120     rep(i, 1, nv+1)
121         printf("%d: %d\n", i, dis[i]);
122 }
123 
124 int main() {
125     ios::sync_with_stdio(false);
126     #ifndef ONLINE_JUDGE
127         freopen("data.in", "r", stdin);
128         freopen("data.out", "w", stdout);
129     #endif
130 
131     input();
132     solve();
133 
134     #ifndef ONLINE_JUDGE
135         printf("time = %d.\n", (int)clock());
136     #endif
137 
138     return 0;
139 }

3. 验证SPT
验证SPT其实就是验证算法正确与否的过程。
最短路径满足的条件是dis[u]+E[u->v]>=dis[v], 因此，我们可以遍历每条边u->v, 检测权重w是否大于等于dis[v]-dis[u]。
这里面有几个有趣的定理和定义。SPT的验证也引发了FB算法。

定理1: forward-only验证算法对于边的期望验证数量是(1+O(1))nlgn。

定义1：
对于阈值M(任意值)，边u->v为out-pertinent需要满足E[u->v] <= 2*(M - dis[u])，边u->v为in-pertinent需要满足E[u->v] < 2*(dis[v] - M)。而in-pertinent和out-pertinent都称为pertinent。

有了pertinent的定义后，我们可以得到一个有趣的结论，SPT中的任何一条边都必须为in-pertinent或者out-pertinent，并且不能同时满足两者。
这个条件非常有意思，可以简单证明：
假设E[u->v]同时满足两者。那么，将两个不等式相加可得
2 * E[u->v] < 2 * (dis[v] - dis[u]), 即E[u->v] < dis[v]-dis[u]。
显然与SPT成立条件矛盾。
那么假设E[u->v]两者都不满足，即E[u->v]>2*(M-dis[u]), E[u->v]>=2*(dis[v]-M)。将两者相加
2 * E[u->v] > 2 * (dis[v] - dis[u])。同时也与SPT成立条件矛盾。

那么可以得证，SPT中的边满足in-pertinent和out-pertinent。

4. FB算法
在FB算法中M取dis数组的中位数（不得不想到今天CF的C题啊，全是泪水啊）。
由上述有趣的定理。我们可以先通过Spira算出一半结点，然后得到M。然后，由M定界把out-pertinent中的边也加入候选边。

FB算法可以仔细想想M为什么选中位数，大概估计一下这样选择后有多少条会被扫到。
其中队列Q的while循环，如果P为空则min(P)=INF。算法代码如下：

  1 /* foward-backward spira */
  2 #include <iostream>
  3 #include <string>
  4 #include <map>
  5 #include <queue>
  6 #include <set>
  7 #include <stack>
  8 #include <vector>
  9 #include <deque>
 10 #include <algorithm>
 11 #include <cstdio>
 12 #include <cmath>
 13 #include <ctime>
 14 #include <cstring>
 15 #include <climits>
 16 #include <cctype>
 17 #include <cassert>
 18 #include <functional>
 19 #include <iterator>
 20 #include <iomanip>
 21 using namespace std;
 22 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,1024000")
 23 
 24 #define sti                set<int>
 25 #define stpii            set<pair<int, int> >
 26 #define mpii            map<int,int>
 27 #define vi                vector<int>
 28 #define pii                pair<int,int>
 29 #define vpii            vector<pair<int,int> >
 30 #define rep(i, a, n)     for (int i=a;i<n;++i)
 31 #define per(i, a, n)     for (int i=n-1;i>=a;--i)
 32 #define clr                clear
 33 #define pb                 push_back
 34 #define mp                 make_pair
 35 #define fir                first
 36 #define sec                second
 37 #define all(x)             (x).begin(),(x).end()
 38 #define SZ(x)             ((int)(x).size())
 39 #define lson            l, mid, rt<<1
 40 #define rson            mid+1, r, rt<<1|1
 41 
 42 typedef struct node_t {
 43     int u, v, w;
 44     node_t() {}
 45     node_t(int u_, int v_, int w_):
 46         u(u_), v(v_), w(w_) {}
 47     friend bool operator< (const node_t& a, const node_t& b) {
 48         return a.w > b.w;
 49     }
 50 } node_t;
 51 
 52 const int INF = 0x1f1f1f1f;
 53 const int maxv = 205;
 54 const int maxe = maxv * maxv + 5;
 55 node_t ND[maxe];
 56 int dis[maxv];
 57 bool inS[maxv], active[maxv], out[maxv];
 58 int U[maxe], V[maxe], W[maxe];
 59 int RV[maxe], RW[maxe];
 60 int inxt[maxe], onxt[maxe], rnxt[maxe];
 61 int ihead[maxv], ohead[maxv], rhead[maxv];
 62 int nv, ne = 0, rne = 0, MID;
 63 
 64 
 65 void addEdge(int u, int v, int w) {
 66     U[ne] = u;
 67     V[ne] = v;
 68     W[ne] = w;
 69     
 70     onxt[ne] = ohead[u];
 71     ohead[u] = ne;
 72     
 73     inxt[ne] = ihead[v];
 74     ihead[v] = ne;
 75     ++ne;
 76 }
 77 
 78 void addReqEdge(int u, int v, int w) {
 79     RV[rne] = v;
 80     RW[rne] = w;
 81     rnxt[rne] = rhead[u];
 82     rhead[u] = rne++;
 83 }
 84 
 85 void forward(priority_queue<node_t>& Q, int u) {
 86     int v, w;
 87     
 88     if (out[u]) {
 89         int& k = ohead[u];
 90         
 91         if (k == -1) {
 92             out[u] = false;
 93         } else {
 94             v = V[k];
 95             w = W[k];
 96             if (w > 2*(MID - dis[u]))
 97                 out[u] = false;
 98             k = onxt[k];
 99             active[u] = true;
100         }
101     }
102     
103     if (!out[u]) {
104         int& k = rhead[u];
105         
106         if (k == -1) {
107             active[u] = false;
108         } else {
109             v = RV[k];
110             w = RW[k];
111             k = rnxt[k];
112             active[u] = true;
113         }
114     }
115     
116     if (active[u]) {
117         Q.push(node_t(u, v, dis[u]+w));
118     }
119 }
120 
121 void backward(priority_queue<node_t>& Q, int v) {
122     int& k = ihead[v];
123     
124     if (k != -1) {
125         Q.push(node_t(k, v, W[k]));
126         k = inxt[k];
127     }
128 }
129 
130 void request(priority_queue<node_t>& Q, int k) {
131     int u = U[k], v = V[k], w = W[k];
132     
133     if (w <= 2*(MID - dis[u]))
134         return ;
135     
136     // append(Req[u], v)
137     addReqEdge(u, v, w);
138     
139     if (inS[u] && !active[u]) {
140         forward(Q, u);
141     }
142 }
143 
144 void sssp(int s = 1) {
145     priority_queue<node_t> P, Q;
146     node_t nd;
147     int u, v, k, n = 1;
148     int mnp, mnq;
149     int nth = (nv+1) >> 1;
150     
151     MID = INF;
152     memset(dis, INF, sizeof(dis));
153     memset(inS, false, sizeof(inS));
154     memset(out, true, sizeof(out));
155     dis[s] = 0;
156     inS[s] = true;
157     forward(P, s);
158     
159     while (n<nv && !P.empty()) {
160         nd = P.top();
161         P.pop();
162         forward(P, nd.u);
163         if (!inS[nd.v]) {
164             ++n;
165             inS[nd.v] = true;
166             dis[nd.v] = nd.w;
167             forward(P, nd.v);
168             if (n == nth) {
169                 MID = nd.w;
170                 rep(i, 1, nv+1)
171                     if (!inS[i])
172                         backward(Q, i);
173             }
174         }
175         
176         while (!Q.empty()) {
177             mnp = P.empty() ? INF:P.top().w;
178             mnq = Q.top().w;
179             if (mnq >= 2*(mnp - MID))
180                 break;
181             nd = Q.top();
182             k = nd.u;
183             Q.pop();
184             if (!inS[nd.v]) {
185                 backward(Q, nd.v);
186                 request(P, k);
187             }
188         }
189     }
190 }
191 
192 void input() {
193     int m;
194     
195     scanf("%d %d", &nv, &m);
196     rep(i, 0, m)
197         scanf("%d %d %d", &ND[i].u, &ND[i].v, &ND[i].w);
198         
199     // init
200     ne = rne = 0;
201     memset(ihead, -1, sizeof(ihead));
202     memset(ohead, -1, sizeof(ohead));
203     memset(rhead, -1, sizeof(rhead));
204     sort(ND, ND+m);
205     rep(i, 0, m)
206         addEdge(ND[i].u, ND[i].v, ND[i].w);
207 }
208 
209 void solve() {
210     sssp();
211     
212     rep(i, 1, nv+1)
213         printf("%d: %d\n", i, dis[i]);
214 }
215 
216 int main() {
217     ios::sync_with_stdio(false);
218     #ifndef ONLINE_JUDGE
219         freopen("data.in", "r", stdin);
220         freopen("data.out", "w", stdout);
221     #endif
222     
223     input();
224     solve();
225     
226     #ifndef ONLINE_JUDGE
227         printf("time = %d.\n", (int)clock());
228     #endif
229     
230     return 0;
231 }

FB要比Spira提高了很多效率。但是，不得不说的是需要维护P、Q两个优先级队列，而且，实际上空间大小是Spira的几倍。
相当于重新建了个request的图。
FB和Spira也比SPFA会快一些。
FB算法后面的定理，我觉得没什么意思。关于每条SPT的边为in-pertinent或out-pertinent这个定理，我觉得挺精彩的。

最后，思考一下为什么Spira没人用，而都选择Dijkstra(SPFA)。
我认为主要还是预处理的条件，其实Spira这个算法还是挺容易写的。而且Spira很适合解决APSP问题（要比floyd好）。

posted on 2015-10-25 21:41 Bombe 阅读(644) 评论(0) 编辑收藏举报

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【SSSP】A forward-backward single-source paths algorithm

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