【算法导论】学习笔记——第22章 图的基本算法

这两周，一直在做搜索类的题目，主要还是集中在深搜和广搜，下周将学习双广和A*。
提到搜索，自然想到图，图这种数据结构，最开始学习的时候特别难。老师常说，树是特殊的图，图也比树一般化很多。深搜和广搜最开始的时候，总是搞不清楚，后来做课设的时候，总算会模拟了。现在才算系统的学习，可以运用自如。也因此，看了一下《算法导论》的搜索部分内容。
1.广度优先搜索
在给定图G=(V, E)和一个特定的源顶点s的情况下，广度优先搜索可以探索G中的边，从而发现s可到达的所有顶点，并计算s到各个可达顶点的距离，并生成以s为顶点、包含所有s可达顶点的最短路径。很多acm题目正是基于广搜的这样的特点而选择使用广搜而不是深搜。其特点是先发现s可达的所有距离为k的顶点，加入队列后，才可探索s可达的所有距离为k+1的顶点。如杭电acm1253，当探测到距离大于最小时间时，证明已经超时，则此时输出结果并返回。其实，这种题目可理解为距离远点为k的可达位置是否满足要求。广搜的时间复杂度是O(V+E)，一般广搜都伴随队列。如下图所示：

广搜顺序为：1->2->3->4->7->6->5

2.深度优先搜索
相对于广度优先搜索，深度优先搜索更基于更加深的搜索。而且dfs的源点很可能不只一个点，使用这个性质可以区分一部分dfs和bfs，并且当深搜完成后，会回溯会初始点。深搜的写法，也一般采用递归。书中提到，在深搜的同时可以给每个顶点加时间戳，每个顶点v可以有两个时间戳：第一次被发现时的时间戳(d[u]表示)和结束检查v的邻接表时的时间戳(f[u]表示)。使用者两个时间戳的特性也可以解决很多问题。如上图所示的深搜时间戳示意图为：

其实这幅图不太能看出dfs和宽搜的区别，dfs会生成由若干搜索树组成的森林，而不再是一棵树。

3.深度优先搜索的性质
3.1 括号定理
dfs的发现和完成时间具有括号结构(parenthesis structure)。如果把发现顶点u用左括号"("表示，完成用右括号")"表示，那么在各级括号正确嵌套的前提下，发现与完成时间的记载就是一个完整的表达式。如下图所示：

定理22.7 括号定理
在对一个（有向或无向）图G=(V, E)的任何深度优先搜索中，对于图中任意两个顶点u和v，下述三个条件中仅有一个成立：
(1)区间[d[u], f[u]]和区间[d[v], f[v]]是完全不相交的，且在深度优先森林中，u或v都不是对方的后裔；
(2)区间[d[u], f[u]]完全包含于[d[v], f[v]]中，且在深度优先树(注意，此处不是森林)中，u是v的后裔；
(2)区间[d[v], f[v]]完全包含于[d[u], f[u]]中，且在深度优先树(注意，此处不是森林)中，v是u的后裔；
推论22.8（后裔区的嵌套）
在一个（有向或无向）图G中的深度优先森林中，顶点v是顶点u的后裔，当且仅当d[u]<d[v]<f[v]<f[u]。
定理22.9（白色路径定理）
在一个（有向或无向）图G=(V, E)的深度优先森林中，顶点v是顶点u的后裔，当且仅当在搜索过程中于时刻d[u]发现u时，可以从顶点u出发，经过一条完全由白色顶点组成的路径到达v。
边的分类
(1)树边（tree edge）是深度优先森林G‘中的边。如果顶点v是在探寻边(u,v)时被首次发现的，那么(u,v)就是一条树边；
(2)反向边（back edge）是深度优先树中，连接顶点u到它的某一祖先顶点v的那些边。有向图中可能出现的自环也被认为 是反向边；
(3)正向边（forward edge）是指深度优先树中，连接顶点u到它的某个后裔的非树边(u,v)；
(4)交叉变（cross edge）是其他类型的边，存在于同一棵深度优先树的两个顶点之间，条件是其中一个顶点不是另一个顶点的祖先。交叉边也可以在不同的深度优先树的顶点之间。
定理22.10
在对一个无向图G进行深度优先搜索的过程中，G的每条边要么是树边，要么是反向边。