【题解】2020CCPC长春 G.Monkey's Keyboard

题意

对于一个字符串\(S\)，我们如下定义\(f(S)\)：

每次以\(p_{\alpha}\)的概率将字母\(\alpha\)(可能是26个小写字母中的一种)加入到初始为空的字符序列\(T\)的末尾，如果\(T\)中出现了\(S\)，即\(S\)是\(T\)的子串，则停止，记\(T\)的期望长度为\(f(S)\)。

现给定字符串\(S\)(\(1\le |S|\le 5\times10^5\))，求

\[\sum_{S的所有子串t}f(t) \]

题解

对于一个字符串\(S(n=|S|)\)，令\(a_i\)为结束时随机序列长度为\(i\)的概率，其生成函数为\(A(x)\)。令\(b_i\)为随机序列长度达到\(i\)且还未结束的概率，其生成函数为\(B(x)\)。则有

\[B(x)(\prod_{i=1}^{n}p_{S_{i}}x)=\sum_{i=1}^{n}[S[1...i]是S的border]A(x)(\prod_{j=n-i}^{n}p_{S_j}x), \]

可得

\[f(S)=A'(1)=B(1)=\sum_{i=1}^{n}[S[1...i]是S的border](\prod_{j=1}^{i}\frac{1}{p_{S_j}}). \]

即只有\(S\)的\(border\)对\(f(S)\)有贡献。于是我们考虑计算\(SAM\)上每个节点对最后答案的贡献。

对于\(SAM\)上的节点\(u\)，设\(pos[u]_i\)表示\(u\)节点所代表的的最长串在\(S\)中第\(i\)次出现的结束位置，\(cnt_u\)为其在\(S\)中的出现次数，则对于\(u\)在\(S\)中任意两次不同出现\(i,j(i<j)\)，\(u\)所代表的一系列串在串\(S[pos[u]_i-len[u]+1,pos[u]_j]\)中形成了\(len_u-len_{fa_u}\)个\(border\)，所有这些形成的\(border\)即为节点\(u\)对最后答案的贡献，即

\[\binom{cnt_u}{2}\sum_{i=1+len_{fa_u}}^{len_u}(\prod_{j=pos_u-i}^{pos_u}\frac{1}{p_{S_j}}), \]

记

\[w_i=\prod_{j=1}^{i}\frac{1}{p_{S_j}}, \]

则

\[\binom{cnt_u}{2}\sum_{i=1+len_{fa_u}}^{len_u}(\prod_{j=pos_u-i}^{pos_u}\frac{1}{p_{S_j}})=\binom{cnt_u}{2}\sum_{i=1+len_{fa_u}}^{len_u}\frac{w_{pos_u}}{w_{pos_u-i}}=\binom{cnt_u}{2}w_{pos_u}\sum_{i=1+len_{fa_u}}^{len_u}\frac{1}{w_{pos_u-i}}. \]

记录\(\frac{1}{w_i}\)的前缀和即可计算。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000005,M=26;
const ll MOD=1e9+7;
char S[N];
int n,m,x,y;
ll w[N],sw[N],p[N];
ll pm(ll x,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1)res=res*x%MOD;b>>=1;x=x*x%MOD;}return res;}
ll getlr(int l,int r){return (sw[r]-sw[l-1]+MOD)%MOD;}
struct sam{
	int fa[N],sz[N],len[N],lst,gt,ch[N][M],pos[N];
	void init(){gt=lst=1;}
	void init2(){
		for(int p=1;p<=gt;p++){
			for(int i=0;i<M;i++)if(ch[p][i])ch[p][i]=0;
		}
		lst=gt=1;
	}
	void ins(int c,int id){
		int f=lst,p=++gt;lst=p;
		len[p]=len[f]+1;sz[p]=1;pos[p]=id;
		while(f&&!ch[f][c])ch[f][c]=p,f=fa[f];
		if(!f){fa[p]=1;return ;}
		int x=ch[f][c],y=++gt;
		if(len[x]==len[f]+1){gt--;fa[p]=x;return ;}
		len[y]=len[f]+1;pos[y]=pos[x];fa[y]=fa[x];fa[x]=fa[p]=y;
		for(int i=0;i<M;i++)ch[y][i]=ch[x][i];
		while(f&&ch[f][c]==x)ch[f][c]=y,f=fa[f];
	}
	int A[N],c[N];
	void rsort(){
		for(int i=1;i<=gt;i++){c[i]=0;}
		for(int i=1;i<=gt;i++)++c[len[i]];
		for(int i=1;i<=gt;i++)c[i]+=c[i-1];
		for(int i=gt;i>=1;i--){A[c[len[i]]--]=i;}
		for(int i=gt;i>=1;i--){
			int u=A[i];
			sz[fa[u]]+=sz[u];
		}
	}
	ll f2(){
		rsort();
		ll ans=0;
		for(int u=2;u<=gt;u++){
			ll na=1ll*sz[u]*(sz[u]+1)/2%MOD*w[pos[u]]%MOD;
			int a=len[fa[u]]+1,b=len[u],r=pos[u]-a,l=pos[u]-b;
			if(r>=0){ans=(ans+na*sw[r]%MOD)%MOD;}
			if(l-1>=0){ans=(ans-na*sw[l-1]%MOD+MOD)%MOD;}
		}
		return ans;
	}
}g,t;
void f1(){
	scanf("%s",S+1);
	n=strlen(S+1);
	ll na=0;
	for(int i=0;i<M;i++){scanf("%lld",&p[i]);na+=p[i];}
	for(int i=0;i<M;i++){p[i]=na*pm(p[i],MOD-2)%MOD;}
	w[0]=1;sw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		w[i]=w[i-1]*p[S[i]-'a']%MOD;
		sw[i]=(sw[i-1]+pm(w[i],MOD-2))%MOD;
	}
	g.init();
	for(int i=1;i<=n;i++){g.ins(S[i]-'a',i);}
	printf("%lld",g.f2());
}
int main(){
	f1();
	return 0;
}