简单单源最短路径笔记QwQ

Floyed ——O(n^3)

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。——from 知乎

关键是枚举中间点

伪代码：

for k:= 1 to n do 
  for i:= 1 to n do 
     for j:= 1 to n do 
        f[i,j]:=min(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

巧妙的Floyd优化，删点那一题目——小X的最短路，从删光点开始往前推，每次增加一点，不能照搬Floyd，要分别以他为起点，终点，中转点来一次Floyd，复杂度大概O(N^3)

还能用来判断点的连通性。

Dijkstra ——O(n^2)

不能处理负边权！

图片来自维基百科

主要思想：

初始化数组为maxlongint div 3; c[i]表示起点到i点的最短距离

从起点开始找，直到找了n-1个点

每次找离当前点最近的蓝点【包括自己】，把它变白，以此为中转点更新与之相连的蓝点到起点的距离。

使它到起点的距离不再是maxlongint div 3或者其他，所以下一个找的蓝点说不定就是它，如图点7

图片来自《算法导论》

模板：

//纯dijkstra ,    Score: 70 MLE
program shortest;
var
  n,i,a,b,m,j,s,e,min,k,tmp:longint;
  x,y:array[1..500000] of longint;
  che:array[1..1000] of boolean;
  c:array[1..1000] of longint;
  f:array[1..1000,1..1000] of longint;
begin
  readln(n,m,s);
  fillchar(f,sizeof(f),$5f);

  for i:= 1 to m do
  begin
    readln(x[i],y[i],tmp);//x表示边的左端点，y表示边的右端点
    if (f[x[i],y[i]]>0) and (f[x[i],y[i]]>tmp) then f[x[i],y[i]]:=tmp;
  end;
  for i:= 1 to n do c[i]:=f[s,i];
  c[s]:=0;

  for i:= 1 to n-1 do
    begin
      min:=maxlongint;  k:=0;
      for j:= 1 to n do
        if che[j]=false then
          if c[j]<min then
            begin
              min:=c[j];
              k:=j;
            end;
      if k=0 then break;
      che[k]:=true;
      for j:= 1 to n do
        if c[j]>f[k,j]+c[k] then c[j]:=f[k,j]+c[k];//如果要记录前驱要在这里的relax添加pre的记录
    end;

  for i:= 1 to n do if c[i]<>1600085855 then write(c[i],' ') else write('2147483647 ')

end.

Bellman-Ford——O(NE)

无法处理负权回环

思想

每次都对M条边做一遍relax操作，必然会有至少一个蓝点turn white.

假设最坏情况(relax)，每次只有一个蓝点变白，那么我们至少要n次*m次的relax操作!

模板

//Score: 70   , DATE8-10: TLE
program shortest;
var
  n,i,a,b,m,j,s,e:longint;
  x,y:array[1..500000] of longint;
  w:array[1..500000] of longint;
  c:array[1..10000] of longint;

procedure printf();
begin
  for i:= 1 to n do
   if c[i]<>2139062143 then write(c[i],' ')
   else write('2147483647 ');
end;

procedure init();//初始化过程
begin
  fillchar(c,sizeof(c),$7f);                 //这样会得到一个接近maxlongint的数——2147483647
   c[s]:=0;
end;
function bellman_ford:boolean;
begin
  init;
  for i:= 1 to n do
    for j:= 1 to m do
       if c[y[j]]>c[x[j]]+w[j] then c[y[j]]:=c[x[j]]+w[j]; //relax,注意有无向

  {for j:= 1 to m do                          //判断负权回路
  if (c[y[j]]>c[x[j]]+w[j]) then exit(false);}//根据路径松弛性质，最短路径中的边的最短路径估计值在达到下限后不再会改变,除非出现负权回路
  exit(true);                                 //虽然该题不会有负权回路
end;

begin
  readln(n,m,s);
  for i:= 1 to m do
    readln(x[i],y[i],w[i]);//x表示边的左端点，y表示边的右端点

  if bellman_ford then printf
  else writeln('Impossible');               
end.

SPFA:

其他

以下内容来自《算法导论》第三版

relax操作

对最短路径的估计值的收紧【更新】并更新前驱

《算法导论》第三版

《迭代求解的神器——spfa算法的优化和应用》

相关性质

注意:为连接u和v的边的权值，即dis[v]，表示从起点到v点的最短路径的估计值，表示s到v的最短路径长度，就是的下界

P.S. 感觉似乎没有必要证明，想想就知道。。

(1)反证法证明最短路径的子路径也是最短路径

定理1 (最优子结构) 给定有向加权图G=(V,E)，设P=<v₁, v₂,…, v_k>为从结点v₁到结点v_k的一条最短路径，对任意i,j有i<=j<=k，设P_ij=< v_i, v_i+1,…, v_j>为从v_i到v_j的P的子路径,则P_ij是从v_i到v_j的一条最短路径。

证明：我们把路径P分解为<v₁,v₂,…,v_i,v_i+1,…v_j,…v_k>。则w(P)=w(P_1i)+w(P_ij)+w(P_jk)。现在假设从v_i到v_j存在一路径P^’_ij，且w(P^’_ij)<w(P_ij)，则将P中的路径P_ij=(v_i,v_i+1,…v_j)替换成P^’_ij，依然是从v₁到v_k的一条路径，且其权值 w(P_1i)+w(P^’_ij)+w(P_jk)小于w(P)，这与前提P是从v₁到v_k的最短路径矛盾。（证毕）