HDU 2602 Bone Collector 背包

该题是一道背包题，并且是一个0,1背包，这种背包特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
int f[1024][1024];
int v[1024],w[1024];
int main(  )
{
    int n,m,M;
    
    scanf( "%d",&M );
    for( int i=0; i< M; i++ )
    {
         memset( f,0,sizeof( f ) );
       scanf( "%d%d",&n,&m );
       for( int j=1; j<=n; j++ )
          scanf( "%d",&w[j] );
       for( int j=1; j<=n ;j++ )
          scanf( "%d",&v[j] );
       for( int j=1; j<=n; j++ )
          for( int k=0; k<=m; k++ )
          {
              if( k>=v[j]&&f[ j-1 ][ k-v[j] ]+w[j]>f[j-1][k] )
                   f[j][k]=f[j-1][ k-v[j] ]+w[j];
                   else f[j][k]=f[j-1][k];     
          }
          printf( "%d\n",f[n][m] ); 
    }
    return 0;    
}

　　该题的第二种解法就是对背包的优化解法，当然只能对空间就行优化，时间是不能优化的，先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

    for v=V..0

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意：这种解法只能由V--0，不能反过来，如果反过来就会造成物品重复放置！

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int  DP(int w[],int v[],int N,int M)
{
    int f[1024]={0};
   for( int i=1; i<=N; i++ )
   {
        for( int j=M; j>=0; j-- )
        {
             if( j>=v[i]&&f[ j ]<f[j-v[i]]+w[i] )
                 f[ j ]= f[ j-v[i] ] + w[i];    
        }  
   }
   return f[M];      
}
int  main()
{
    int n,N,M;
    int v[1005],w[1005];
    scanf( "%d",&n );
    for( int i=0; i<n; i++  )
    {
        scanf( "%d%d",&N,&M );
        for( int j=1; j<=N; j++ )
          scanf( "%d",&w[j] );
        for( int j=1; j<=N; j++ )
          scanf( "%d",&v[j] );
         printf( "%d\n",DP( w , v, N ,M ) );     
    }
    return 0;     
}