P4780 Phi的反函数 题解

本题解有误，请不要阅读。

因为 $\phi (x)$ 的值只与 $x$ 的不同质因子有关，又因为 $2^{31}$ 之内的数的质因子个数不超过 $10$，所以容易枚举 $10$ 个位置上填入的质因子打出朴素的暴力，简单剪枝后得到 $20$ 分。

注意需要先判掉 $x=n+1$ 的情况。

考虑优化：因为 $\phi$ 的值只与质因子有关（而不是质因子幂次），所以不用重复填入质因子，得到 $68$ 分。

此时 $x$ 可以表示为不同质数的乘积，设为 $x=p_1{p}_2{p}_3\cdots p_m$，则

$$\begin{array}{rl}\phi (x)& =x\frac{p_1-1}{p_1}\frac{p_2-1}{p_2}\frac{p_3-1}{p_3}\cdots \frac{p_m-1}{p_m}\\ & =(p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)\cdots (p_m-1)\end{array}$$

即 $\mathrm{\forall }i\in [1,m]$，有 $(p_i-1)\mid n$，用这个剪枝即可。

剪枝后，搜索实际上是枚举选 / 不选质因子，时间复杂度 $O(2^{\omega (n)}\sqrt{n})$。

实际实现中可以筛出一定范围内的质数，达到 $O(2^{\omega (n)})$ 的时间复杂度，本题筛到 $2\cdot {10}^5$ 即可通过。

#include <iostream>
 
#define int long long
 
using namespace std;
 
const int lim = 2e5;
const int mxx = 1ll << 31;
 
bool vis[lim + 5];
int pr[lim + 5], tail;
 
int n;
 
static inline bool isprime(int x) {
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}
 
int ans = mxx + 1;
 
static inline void dfs(int x, int ph, int las, int dep) {
    if (ph > n)
        return;
    if (x >= ans)
        return;
    if (ph == n)
        ans = x;
    if (n % ph)
        return;
    if (dep < 10)
        for (int i = 1; i < las; ++i)
            dfs(x * pr[i], ph * (pr[i] - 1), i, dep + 1);
}
 
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    for (int i = 2; i <= lim; ++i) {
        if (!vis[i])
            pr[++tail] = i;
        for (int j = 1; j <= tail && i * pr[j] <= lim; ++j) {
            vis[i * pr[j]] = true;
            if (i % pr[j] == 0)
                break;
        }
    }
    cin >> n;
    if (n == 1) {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }
    if (isprime(n + 1)) {
        cout << n + 1 << endl;
        return 0;
    }
    dfs(1, 1, tail, 1);
    if (ans > mxx)
        cout << -1 << endl;
    else
        cout << ans << endl;
    return 0;
}