Luogu P2460 [SDOI2007] 科比的比赛 题解

题意：给定 $n\times m$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 和长为 $m$ 的数列，矩阵的元素在 $[0,1]$ 上。在矩阵每一行选择一个数，最大化选中的数的乘积的前提下最大化得分，但矩阵每一列至多选择一个数。求最大乘积和对应的最大得分。

考虑状压 DP，设 $d{p}_{i,j}$ 表示已经处理前 $i$ 列，状态集合为 $j$ 的行已经选定时的最大乘积。

转移

$$d{p}_{i,j}=\sum _{k\in j}d{p}_{i-1,j-\{k\}}\cdot a_{i,k}$$

边界

$$d{p}_{i,0}=1$$

答案

$$d{p}_{m,U}$$

其中 $U$ 是全集。

最大得分容易与乘积同时转移。

时间复杂度 $O(nm{2}^n)$，滚动数组优化空间后可以通过 $50$ 分。

考虑贪心，将矩阵每一行按 $a_{i,j}$ 为第一关键字，$s_j$ 为第二关键字降序排序，至多选择前 $n$ 大的位置。

所以排序后将每一行可能被选的位置提出来做一次 DP，至多有 $O(n^2)$ 个可能被选的位置，时间复杂度优化为 $O(nm\log m+n^3\log n+n^3{2}^n)$，可以通过。

#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
typedef long double ld;
 
const ld eps = 1e-10;
 
int n, m;
int w[100005];
int s[100005];
 
ld a[12][100005];
int b[12][100005];
int id[100005], len;
ld c[12][100005];
 
ld dp[2][1050];
int f[2][1050];
 
static inline void solve() {
    cin >> n >> m;
    int lim = 1 << n;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        cin >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> a[i][j];
            b[i][j] = j;
        }
        sort(b[i] + 1, b[i] + m + 1,
             [i](const int x, const int y) {
                 return (abs(a[i][x] - a[i][y]) < eps)
                            ? (w[x] > w[y])
                            : (a[i][x] - a[i][y] > eps);
             });
        for (int j = 1; j <= n && j <= m; ++j)
            id[++len] = b[i][j];
    }
    sort(id + 1, id + len + 1);
    len = (int)(unique(id + 1, id + len + 1) - id - 1);
    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            c[j][i] = a[j][id[i]];
        s[i] = w[id[i]];
    }
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= len; ++i) {
        for (int j = 0; j < lim; ++j) {
            dp[i & 1][j] = dp[(i + 1) & 1][j];
            f[i & 1][j] = f[(i + 1) & 1][j];
            for (int k = 1; k <= n; ++k) {
                if (j & (1 << (k - 1))) {
                    ld val = dp[(i + 1) & 1][j ^ (1 << (k - 1))] * c[k][i];
                    if (val < eps)
                        continue;
                    if (val - dp[i & 1][j] > eps) {
                        dp[i & 1][j] = val;
                        f[i & 1][j] = f[(i + 1) & 1][j ^ (1 << (k - 1))] + s[i];
                    } else if (abs(val - dp[i & 1][j]) < eps)
                        f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[(i + 1) & 1][j ^ (1 << (k - 1))] + s[i]);
                }
            }
        }
    }
    cout << fixed << setprecision(12) << dp[len & 1][lim - 1] << endl;
    cout << f[len & 1][lim - 1] << endl;
}
 
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("P2460.in", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}