ABC077D / ARC084B Small Multiple 题解

AtCoder Luogu

考虑数位和的来源：从 $1$ 开始进行若干次 $\times 10$ 和 $+1$ 操作可以得到任意正整数，此时 $+1$ 操作的次数为其数字和。注意不能连续进行 $10$ 次及以上 $+1$ 操作。

不难列出转移，设 $f(i)$ 表示 $i$ 的数字和，则：

• $f(10i)=f(i)$
• $f(i+1)=f(i)+1$

考虑题目求 $k$ 的正整数倍，使用 同余最短路，在模 $k$ 意义下建图：

• $i\stackrel{0}{\to }10i$
• $i\stackrel{1}{\to }i+1$

答案即为 $1$ 到 $0$ 的最短路。因为进行 $10$ 次及以上 $+1$ 操作一定更劣，无需特别处理。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <string.h>
#include <vector>
 
using namespace std;
 
int n;
int dis[100005];
vector<pair<int, int>> vec[100005];
 
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ABC077D.in", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        vec[i].push_back({10 * i % n, 0});
        vec[i].push_back({(i + 1) % n, 1});
    }
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1] = 1;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push({1, 1});
    while (!q.empty()) {
        auto [d, u] = q.top();
        q.pop();
        if (d != dis[u])
            continue;
        for (auto [v, w] : vec[u]) {
            int dd = d + w;
            if (dd < dis[v]) {
                dis[v] = dd;
                q.push({dd, v});
            }
        }
    }
    cout << dis[0] << endl;
    return 0;
}