树论

树的括号序列

树的括号序列一般有两种定义：

1. 边的括号序列，即从根节点开始，左括号表示当前节点向下出现一条边，右括号表示回退到父节点。例题为后文的 Tree Generator™；
2. 点的括号序列，即 DFS 时进入节点为左括号，退出节点为右括号。应用：树的最小表示法判定树同构。

CF1149C Tree Generator™

题意 初始给定树的边的括号序列，每次交换两个位置的括号，保证交换后仍是一颗树，问每次得到的括号序列对应的树的直径。

引理 若从序列中任取一段连续子序列，从中去掉所有匹配括号后，剩下的括号组成的路径一定为一条链，链长为剩下的子序列长。

推论 树上直径长度即为任意区间去掉匹配括号后的长度的最大值。

不妨令左括号权值为 $1$，右括号权值为 $-1$。

定理 最长去匹配区间权值 = 最大的后半段的权值和 - 前半段的权值和。

接下来的部分交给线段树，详见题解。

引用与参考

1. 题解 CF1149C 【Tree Generator™】 - KaisuoShutong

点分治和点分树

点分治是对树上的点进行分治，处理树上路径信息。点分治每次选定一个节点，处理所有经过它的路径的信息，然后逻辑删除该节点，递归处理子树。为保证时间复杂度，每次选定的点是重心，因此时间复杂度为 $O(n\log n)$。

点分树是将点分治每次选定的中心连接，得到的一棵新的树，该树的深度不超过 $O(\log n)$，所以允许多次修改和询问。点分树要求原树的形态固定。

CF1192B Dynamic Diameter

题意 给定一棵带边权树，每次修改边权，输出树的直径。

一种可能的实现：边权转点权，建立点分树。然后……

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