代数：方程与函数

方程与函数

概述

零点存在性定理

如果函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则 $\text{exist}{x}_0\in [a,b]$，使 $f(x_0)=0$。

一元一次方程和一次函数

形如 $ax+b=0(a\ne 0)$ 的方程称为一元一次方程。
形如 $y=kx+b(k\ne 0)$ 的函数称为一次函数，如果 $b=0$，该一次函数称为正比例函数。

一元二次方程和二次函数

形如 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ 的方程称为一元二次方程。
形如 $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 的函数称为二次函数。

零点和根

一元二次方程判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$。

• 若 $\mathrm{\Delta }>0$，该方程有两个实根 $x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$；
• 若 $\mathrm{\Delta }=0$，该方程有一个实根 $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$；
• 若 $\mathrm{\Delta }<0$，该方程无实根。

利用两点式可以快速求出根。

图像

形状由 $a$ 决定，若 $a>0$，二次函数开口向上；若 $a<0$，二次函数开口向下。$|a|$ 越大，二次函数图像越靠近 $y$ 轴；$|a|$ 越趋近于 $0$，二次函数图像越靠近 $x$ 轴。
极值点由 $a,b$ 决定，当 $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ 时函数取到极值，极值点坐标为 $(-{\displaystyle \frac{b}{2a}},{\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}})$。
二次函数图像关于对称轴 $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ 对称。

利用顶点式可以快速求出极值。

韦达定理

一元二次方程两根 $x_1,x_2$ 有以下关系

$$x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$$

$$x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$$

逆定理

如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足以下关系

$$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$$

$$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}}$$

那么 $\alpha$ 和 $\beta$ 是一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ 的两根。

推广

设一元 $n$ 次方程 $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0(a_n\ne 0)$ 的根为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，则

$$x_1+x_2+\cdots +x_n=-{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{a_n}}$$

$$x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n{\displaystyle \frac{a_0}{a_n}}$$