数论：数论函数

数论函数

积性函数

积性函数：对于任何互质的整数有 $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ 的数论函数。
完全积性函数：对于任何整数有 $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ 的数论函数。

常见积性函数：欧拉函数 $\phi$，莫比乌斯函数 $\mu$，因数个数函数 $\tau$，因数和函数 $\sigma$。

$\pi$ 函数不是积性函数。

性质 1 若 $f(x),g(x)$ 均为积性函数，则 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 也为积性函数。

线性筛求积性函数

对于 $p\mid n$，$f(n)=f(p)\cdot f(n/p)$。

以欧拉函数为例：$\phi (n)=\phi (p)\cdot \phi (n/p)$。
设素数 $p$，整数 $x$。
显然 $\phi (p)=p-1$；
若 $p\nmid x$，$\phi (px)=\phi (p)\cdot \phi (x)$；
若 $p\mid x$，$\phi (px)=p\cdot \phi (x)$。

phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!vis[i]) {
        primes.push_back(i);
        phi[i] = i - 1;
    }
    for (size_t j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {
        vis[i * primes[j]] = true;
        if (i % primes[j] == 0) {
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
            break;
        } else {
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * phi[primes[j]];
        }
    }
}

欧拉函数

欧拉函数 $\phi (n)$ 描述小于 $n$ 的与 $n$ 互素的正整数个数。
例如：$\phi (4)=2$。

欧拉函数是积性函数，线性筛求欧拉函数见前文“线性筛求积性函数”。

$$\phi (n)=n\cdot \prod _{p\mid n}(1-p^{-1})$$

欧拉定理 若正整数 $a,p$ 互素，$a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

欧拉降幂 若 $k>\phi (p)$，$a^k\equiv a^{k\mathrm{mod}\phi (p)+\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$。

参考资料

初等数论笔记Part 1： 欧拉定理 - 知乎
欧拉降幂公式证明 - 知乎