数论：阶与原根

阶与原根

阶

若正整数 $a,p$ 互素，满足 $a^k\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的最小的 $k$ 被称为 $a$ 模 $p$ 的阶，记作 ${\delta }_p(a)$。
例如：${\delta }_5(114)=2$。

性质 1 若 $a^n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，${\delta }_p(a)\mid n$。

推论 若正整数 $a,p$ 互素，${\delta }_p(a)\mid \phi (p)$。

性质 2 若正整数 $a,p$ 互素，$a,a^2,a^3,\dots ,a^{{\delta }_p(a)}$ 模 $p$ 两两不同余。

原神

若正整数 $a,p$ 互素，且 $a$ 模 $p$ 的阶恰好为 $\phi (p)$，则称 $a$ 为模 $p$ 的一个原根。

原根存在性定理 对于素数 $p$，模 $p$ 的原根存在，且有 $\phi (\phi (p))=\phi (p-1)$ 个。（证明见参考资料二）

原根判定定理 若 $m\ge 3$，$(g,m)=1$，$g$ 是模 $m$ 的原根的充分必要条件是：对于 $\phi (m)$ 的每个素因数 $p$，$g^{\frac{\phi (m)}{p}}\not\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

最小原根范围估计 素数 $p$ 的最小原根 $g_p=O(p^{0.25+ϵ})$。

参考资料

阶与原根 - 知乎
原根的概念、性质及其存在性 - 知乎