双人取牌问题

双人取牌问题研究(谁取最后一张谁赢)

一、名称定义
①堆张：多少堆，每堆多少张
②堆张的数学表示法(牌不分左右顺序，该表示法按左小又大排序只是为了便于讨论)：
(2,3)表示两堆牌，一堆2张，一堆3张。
(1,2,3)表示三堆牌，一堆1张，一堆2张，一堆3张
③先手必胜堆张：如(1,2,4)，先取成(1,2,3)
先手必败堆张：如(2,2)，(1,2,3)
先手不能决堆张：先手不能决定胜负的堆张
④堆张总集合：(X1,X2,X3...) 表示任意堆，任意张
两堆牌总集合：(X,Y) 表示两堆，任意张。(2,2)属于这个集合，(36,89)也属于这个集合
三堆牌总集合：(X,Y,Z)

二、研究问题
①是否存在先手不能决堆张？
答案：不存在
反正法：假设存在一个(x1,x2,x3...)的先手不能决胜负堆张，当我取完若干张后，这时堆张为以下三种情况；
1 先手必胜堆张 2 先手必败堆张 3 先手不能决堆张
如果为1，则原堆张为先手必败堆张；如果为2，则原堆张为先手必胜堆张；如果为3，这时情况略微复杂一些，假设
先手不能决堆张取完一次后仍为先手不能决堆张，可以再取一次，先手不能决堆张→先手不能决堆张→...→先手不能决堆张
这个过程不是无限的，因为牌的总数不为无限，最后一张牌总会被取完，所以证明不存在先手不能决堆张。
由此推出：堆张总集合 = 先手必胜堆张集合 + 先手必败堆张集合

②给出堆数，求解先手必败堆张集合(先手必胜集合为必败堆张中某堆加N张即可)？
一堆牌，先手必败堆张集合：无
两堆牌，先手必败堆张集合：(X，X)
三堆牌，先手必败堆张集合：
(1,2,3)(1,4,5) (1,6,7) (1,8,9)。。。
(2,4,6)(2,5,7)(2,6,8)(2,7,9)(2,8,10)(2,9,11)(2,10,12)。。。
(3,4,7)(3,5,6) (3,7,8) (3,9,10)。。。
(4,5,9)(4,6,10)(4,7,11)(4,8,12)。。。
。。。
公式我还没推导出来，但也发现必败堆张有以下规律：
1 很容易发现除了第3排以外，基本都是x1+x2=x3
2 3堆牌数总和都为偶数
3 某一必败堆张在两堆牌中分别加一张构成了新的必败堆张，如（2,4,6）→（3,4,7）

 

结论：
不妨设x1<=x2<=x3
若x1+x2=x3 若（x2+x3-5)%4=0 减5除以4，是否能除尽。若能，先手必败，若不能，先手必胜。
若x1+x2 !=x3 则x1+x2+x3=偶数，先手必败；则x1+x2+x3=奇数，先手必胜

也就是说，开始了的数字就注定了最后的输赢结果。

1）两堆的情况，若等则 先手必败，不等的情况，先手必胜，因为转化成等的情况
2）三堆的情况，看x2 和x3 若相等，直接拿掉x1堆，好办。若x2和x3不等，怎么办呢，x1 又存在。我们知道（1,1,1）先手必胜
3）（1,2,3）先手必输的原因就是无论怎么拿，拿掉1堆也好，只剩两堆，而且不等，再拿一个（或者几个），使相等，那么先手就输了
若2 拿1个，或3拿1个，又可以转化成相等，必输

1）两堆的情况，若等则必败
2）三堆的情况 （1,2,3）先手必输的原因就是无论怎么拿，拿掉1堆也好，只剩两堆，而且不等，再拿一个（或者几个），使相等，那么先手就输了
若2 拿1个，或3拿1个，又可以转化成相等，必输
（1,2,3）→（1,2,1） 或（1,2,2）或（1,1,3） 都有相等的情况出现，故也必输
（0，1,2)或,0，1,3 ）或,0，2,3）都不等，必输
说白了，终极判断条件就是。如果x1 x2 x3 有相等的情况 则其必输

初始化的时候，先判断三个，若有两个相等，则先手必输

最终条件就是：判断（0,0,0）为谁拿之后的状态，谁就赢
你拿多少个，我就拿多少个，这是每个人的判断标准（只有这一堆里不出现0,1,2,3）或者同时出现 2,3才来判断即可
先手必输的例子

1,5,6 先手胜，1,6,7 先手败。。故先手必胜 1 101 200 →1,100,101 →1,6,100→1,6,7→1,5,7→1，4,5→
→1,7,100 →1,6,7
→1，8,100 → 1,8,9
→1,21,100 →1,20,21
3,50 ，100 先手胜 3,50 ，100 →3,50,53 →3,20,50 →3,20,23 →3,6,23 →3,6,9，→3,6,7 →3,4,7→（3，1）（3，2）都输
2,5,6 先手必胜吗？ 2,5,6 →2,4,5 1 个，两个，三个，四个都不好 故必胜
除了这些搭配，其余都是先手必胜。因为它可以转化这种例子
（1,1,2）（1,2,2）(1,2,3)(1,4,5) (1,6,7) (1,8,9)。。。
(2,4,6)(2,5,7)(2,6,8)(2,7,9)(2,8,10)(2,9,11)(2,10,12)。。。
(3,4,7)(3,5,6)（3,6,9） (3,7,8) (3,9,10)。。。
(4,6,10)(4,7,11)(4,8,12)。。。

最后结论：
初始化的时候，①先判断三个，若有两个相等，则先手必胜。因为可以直接拿掉另外一堆牌。
②若没有相等的时候，不妨设x1<x2<x3 。 i）若x1+x2!=x3 则先手必胜。（根据先手必败的“必要条件”是x1+x2=x3 【注意是必要条件】。又根据逻辑命题的逆否命题 A推出B,则非B推出非A）
ii）若x1+x2=x3 若X1为偶数且x2=x1+1 ，则先手必胜 若x2为偶数 则先手必败。
ii）若x1+x2=x3 ①若X1为奇数1时，x2是偶数时，则先手必败
iii)若x1+x2=x3 ②若X1为其他奇数时，则先手必败