笔记——树状数组

蓝月の笔记——树状数组篇

在可恶的OI里，我们尝尝会遇到一些区间问题，例如区间修改单点查询，单点修改区间查询，区间修改单点查询，单点修改单点查询。

其中，单点修改区间查询，就是树状数组最经典的用法啦！

Luogu - P3374

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 和两种操作：

1. 输入 1 x k 将 $a_k$ 加上 $x$；
2. 输入 2 l r，求 $\sum _{i=l}^r{a}_i$ 。

这就是我们说的单点修改区间查询。

根据前缀和的思想，我们可以用一些手法求出每一个 $[1,x]$ 的和。查询时直接输出 $Q(r)-Q(l)$ 即可。（$Q(x)$ 为查询 $\sum _{i=1}^x{a}_i$ 的函数）

首先我们设树状数组的数组（？）为数组 $c$。

定义 $c_x$ 表示树状数组这棵树中 $x$ 的所有子节点的 $c_i$ 总和，即 $c_x=\sum _i^{i\in \text{son of x}}{c}_i$

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$\mathrm{lowbit}$

我们引入一个函数，叫 $\text{lowbit}$，从避免可知，$\mathrm{lowbit}$ 就是最 $\mathrm{low}(\mathtt{\text{低}})$ 的 $\mathrm{bit}(\mathtt{\text{二进制位}})$，即二进制中最低位的 $1$。

举个例子：

$\downarrow$

$⋮$

$\because x=18=(10010{)}_2$

$⋮$

$\uparrow$

$\therefore \text{lowbit}(x)=2=(10{)}_2$

$\mathrm{lowbit}$ 怎么求呢，这时候就要用到补码的特性了。

我们注意到 $x$ 和 $(\sim x)+1$ 的二进制，我们求的最低位的 $1$ 一直到最后一位都没有变化，这一段是 $(100\cdots 0{)}_2$，而前面的部分全部取反。

我们充分发扬人类智慧，将 $x$ 与 $(\sim x)+1$ 按位与，就可以把前面的全部消掉，而留下 $(100\cdots 0{)}_2$ 这一部分，而这，就是我们要求的 $\mathrm{lowbit}$！

而根据补码的性质 $(\sim x)+1=(-x)$，所以我们可以得到求 $\mathrm{lowbit}$ 的代码：

int L(int x) {
  return x & -x;
}

如果你喜欢写成宏定义的话：

#define L(x) ((x) & (-x))

还是已 $x=18$ 为例：

$$\text{lowbit}=(10010{)}_2\mathrm{\&}(01110{)}_2$$

$$10010$$

$$\mathrm{\&}01110$$

$$\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}$$

$$00010=2$$

我们前面手算的也是 $2$，这就证明了 $\text{lowbit}=x\mathrm{\&}-x$

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$\mathrm{update}$

先放图。

【图片转载自liruixiong0101的blog】

观察这棵树，可以发现 $c_i$ 的父亲为 $c_{i+\text{lowbit}(i)}$，而根据 $c$ 的定义 $c_x$ 一定在 $c_{i+\text{lowbit}(i)}$ 里面，然后我们循环迭代递推，所以我们可以得到 $\text{update}$ 的代码：

void U(int x, int y) {
  for (int i = x; i <= n; i += L(i)) {
    c[i] += y;
  }
}

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$\text{query}$

根据设计，$\text{query}$ 求的是 $\sum _{i=1}^x{a}_i$ 而不是 $\sum _{i=l}^r{a}_i$！！！

根据定义，$c_x$ 代表 $\sum _{i=x-\text{lowbit}(x)+1}^x{a}_i$，我们可以把 $\text{query}$ 操作抽象成跳跃的过程。

我们现在 $x$ 的位置，我们的目标是跳到 $1$，根据 $c$ 的定义，我们先往前跳 $\text{lowbit}(x)$ 格，也就是跳过 $c_x$ 管辖的区间，这时 $ans\leftarrow c_x$。

现在我们在 $x-\text{lowbit}(i)$ 的位置，我们令 $i\leftarrow x-\text{lowbit}(i)$，我们再往前跳 $\text{lowbit}(i)$ 格，正好跳过 $c_i$ 的管辖区间，这时 $ans\leftarrow c_x+c_i$。

一直持续这个操作，直到 $i\le 0$，我们就得到了 $[1,x]$ 之间不重不漏的区间和了。

根据思路写出代码：

int Q(int x) {
  int ans = 0;
  for (int i = x; i; i -= L(i)) {
    ans += c[i];
  }
  return ans;
}

然后求 $\sum _{i=l}^r{a}_i$ 就可以很轻松了，即 Q(r) - Q(l - 1)。

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$\text{code}$

然后我们就可以写完这道水黄力！（喜

已用结构体封装好的代码：

// P3374
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int kMaxN = 5e5 + 5;

int L(int x) {
  return x & -x;
}

struct BIT {
  int n, a[kMaxN], c[kMaxN];
  void U(int x, int y) {
    for (int i = x; i <= n; i += L(i)) {
      c[i] += y;
    }
  }
  int Q(int x) {
    int ans = 0;
    for (int i = x; i; i -= L(i)) {
      ans += c[i];
    }
    return ans;
  }
};

int m, op, l, r;
BIT t;

int main()
{
  cin >> t.n >> m;
  for (int i = 1; i <= t.n; i++) {
    cin >> t.a[i];
    t.U(i, t.a[i]);
  }
  for (; m; m--) {
    cin >> op >> l >> r;
    if(op == 1) {
      t.U(l, r);
    } else {
      cout << t.Q(r) - t.Q(l - 1) << '\n';
    }
  }
  return 0;
}

友情给出树状数组结构体：（$\text{lowbit}$ 要自己写）

struct BIT {
  int n, a[kMaxN], c[kMaxN];
  void U(int x, int y) {
    for (int i = x; i <= n; i += L(i)) {
      c[i] += y;
    }
  }
  int Q(int x) {
    int ans = 0;
    for (int i = x; i; i -= L(i)) {
      ans += c[i];
    }
    return ans;
  }
};