蓝月の笔记——莫队篇

简介

莫队算法是由莫涛提出的算法。在莫涛提出莫队算法之前，莫队算法已经在 Codeforces 的高手圈里小范围流传，但是莫涛是第一个对莫队算法进行详细归纳总结的人。莫涛提出莫队算法时，只分析了普通莫队算法，但是经过 OIer 和 ACMer 的集体智慧改造，莫队有了多种扩展版本。

莫队算法可以解决一类离线区间询问问题，适用性极为广泛。同时将其加以扩展，便能轻松处理树上路径询问以及支持修改操作。但是我不会

这段话是抄的

摘要

暴力乱搞做法

Prob.

Luogu P1972 [SDOI2009] HH的项链

没有特别说明都是在讲这道题

Part 1 暴力搞法

很显然，可以使用 $O(n^2)$ 来在线回复询问，开一个 vis[] 将区间扫一遍即可

代码：

// BLuemoon_
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int kMaxN = 1e6 + 5;

int n, m, l, r, ans, a[kMaxN], vis[kMaxN];

int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  for (cin >> m; m; m--, ans = 0) {
    cin >> l >> r, fill(vis, vis + kMaxN, 0);
	for (int i = l; i <= r; i++) {
	  ans += (vis[i] == 0), vis[i]++;
	}
	cout << ans << '\n';
  }
  return 0;
}

Part 2 普通莫队

有聪明的小朋友就要问了，不是你就一个傻逼暴力为什么要把在线标粗啊

我的评价是：感觉不如莫队

用 rzx 也想的出来莫队是一个离线算法，这明显就是一个铺垫啊

我们可以先把所有询问离线下来，进行排序，然后按照一定顺序进行拓展，就可以在 $O(n\sqrt{n})$ 的时间复杂度内算出结果了

那又有聪明的小朋友要问了，那排序的顺序是什么呢

首先我们明显可以在 $O(1)$ 将 $[l,r]$ 的询问拓展到相邻的 $[l,r+1],[l,r-1],[l-1,r],[l+1,r]$，那么我们可以以 $l$ 为第一关键字，$r$ 为第二关键字惊醒排序，这样就可以做到最优 $O(n)$ 最坏 $O(n^2)$ 了

为什么会被卡到 $O(n^2)$ 呢，我们可以把询问 $[l,r]$ 抽象成平面上的点 $(l,r)$，两个询问之间的拓展次数就是他们的曼哈顿距离，有因为询问保证 $l\le r$，所以这些点都在 $y=x$ 之上，于是我们就可以用这样的图形来卡这种做法

用 rzx 也看的出来这么算是 $O(n^2)$ 的，那么我们怎么优化呢，当然使用卡常界最泛用的分块啦

我们可以按 $x$ 坐标分成 $B$ 块，按点所在块的编号最为第一关键字，$y$ 坐标作为第二关键字进行排序

这当块长为 $\sqrt{n}$ 时，可以将时间复杂度降到 $O(n\sqrt{n})$ ，懒得证明了，自己看去吧

但是我们还可以进行常数优化，因为最坏情况下从前一个块跳到后一个块可能需要 $O(n)$ 次拓展，所以我们可以对于奇数编号按 $y$ 坐标从小到大排序，偶数编号从大到小排序，这样就可以稍微平缓的坐过山车了

代码：

// BLuemoon_
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using LL = long long;

const int kMaxN = 1e6 + 5;

int n, m, s, L = 1, R;
LL ans, a[kMaxN], c[kMaxN];

struct Q {
  int l, r, id;
  LL ans;
  const bool operator<(const Q& _) {
    int lb = (l - 1) / s + 1, rb = (_.l / s + 1);
    if (lb != rb) {
      return lb < rb;
    }
    return (lb & 1 ? r < _.r : r > _.r);
  }
  const bool operator>(const Q& _) {
    return id < _.id;
  }
};

Q q[kMaxN];

void Insert(int x) {
  c[a[x]]++, ans += (c[a[x]] == 1);
}
void Delete(int x) {
  c[a[x]]--, ans -= (c[a[x]] == 0);
}
bool CMP(Q l, Q r) {
  return l.id < r.id;
}

int main() {
  cin >> n, s = sqrt(n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  cin >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    cin >> q[i].l >> q[i].r, q[i].id = i;
  }
  sort(q + 1, q + m + 1);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (; R < q[i].r; Insert(++R)) {
    }
    for (; L > q[i].l; Insert(--L)) {
    }
    for (; R > q[i].r; Delete(R--)) {
    }
    for (; L < q[i].l; Delete(L++)) {
    }
    q[i].ans = ans;
  }
  sort(q + 1, q + m + 1, CMP);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    cout << q[i].ans << '\n';
  }
  return 0;
}

你说的对，但是这份代码只有 $36$ 分，因为 $O(n\sqrt{n})$ 可能达到 ${10}^9$，能过才怪，但是如果你卡卡常或许可以达到 $50\sim 70$ 分，我在最多卡到了 $52$，加油吧

To be continue