线性代数笔记02

合集 - 线性代数(3)

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蓝月の笔记——线性代数$.02$

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$\mathfrak{Mathematics}\mathfrak{requires}\mathfrak{a}\mathfrak{small}\mathfrak{dose}\mathfrak{,}\mathfrak{not}\mathfrak{of}\mathfrak{genius}\mathfrak{,}\mathfrak{but}\mathfrak{of}\mathfrak{an}\mathfrak{imaginative}\mathfrak{freedom}\mathfrak{which}\mathfrak{,}\mathfrak{in}\mathfrak{a}\mathfrak{larger}\mathfrak{dose}\mathfrak{,}\mathfrak{would}\mathfrak{be}\mathfrak{insanity}\mathfrak{.}$

数学需要的不是天赋，而是少量的自由想象，但想象太过自由又会陷入疯狂。

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单位向量$(\text{Unit Vector})$

单位向量也叫基向量$(\text{Basis Vector})$，是坐标系中最基础的向量。下面是一些常见的单位向量。

$\hat{ı}$

这是 $x$ 轴方向上的单位向量，它代表 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。

$\hat{ȷ}$

这是 $y$ 轴方向上的单位向量，它代表 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。

$\hat{k}$

$\hat{k}$ 只有在三维向量上才存在。这是 $z$ 方向上的单位向量。它代表 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

用途

如果我们把任意一个二维向量 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 中的 $x,y$ 看成标量，那么所有 $\overrightarrow{v}$ 都可以由 $\hat{ı},\hat{ȷ}$ 缩放后相加得到。

例如：$\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]=3\hat{ı}+2\hat{ȷ},\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]=(-3)\hat{ı}+1\hat{ȷ},\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=2\hat{ı}+(-1)\hat{ȷ}$。

总结： $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\hat{ı}+y\hat{ȷ}$。

三维向量同理： $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=x\hat{ı}+y\hat{ȷ}+z\hat{k}$。

线性组合$(\text{Linear Combination})$

一个简短的基础概念。

如果 $a,b$ 是标量且 $a,b\in \mathbb{R}$，那么我们称每一个 $a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}$ 为 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 的线性组合。

张成的空间$(\text{Span})$

给定两个向量 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right],\overrightarrow{w}=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$。

定义 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 张成的空间为：对于任意 $a,b\in \mathbb{R}$，每一个关于 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 的线性组合形成的空间。

例如 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right],\overrightarrow{w}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$，那么 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 张成的空间就是整个二维平面，即整个平面直角坐标系。其中 $a,b\in \mathbb{R}$。

在大部分情况下，张成的空间时整个二维平面，但肯定有例外。

如果两个向量共线，那么它们张成的空间就是他们共的这条线。

例如：$\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right],\overrightarrow{w}=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right]$，他们张成的空间就是 $y=x$ 这一条直线。

还有更特殊的情况，当两个向量都是零向量，即 $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$ 时，他们张成的空间只有一个点——原点。

向量与点

考虑由 $\hat{ı}$ 和 $\hat{ȷ}$ 张成的空间，易知是整个二维平面。但是如果我们要把每一个向量都在图中用箭头的形式画出来，那就会占满整个坐标系，不方便观察。

将向量抽象成点，就是解决这个问题的方法。

因为向量默认从原点出发，所以我们可以不需要画出原点，只需要画出终点。画出向量 $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 在图中其实只需要画出点 $(x,y)$ 就可以表示这个向量了。

可以表示成

那么这无数个向量就可以表示为无数个点，组合起来就是整个平面了。

同理，如果张成的空间是一条直线，我们也可以理解为无数个向量表示的点都在这个直线上，组合起来就是一条直线。

三维向量张成的空间

先考虑三维空间中两个向量张成的空间。

和二维中很像，如果共线，那么就是一条直线，都是零向量就只在原点。否则就是一整个平面。

接下来加入第三个向量，下面默认前两个向量都不是零向量且不共线。

如果第三个向量在原来两个向量张成的平面中，那么加入这个向量不会对最终张成的空间产生贡献。也就是说，加上这个向量后，张成的空间依旧是那个平面。

否则就是整个三维空间。

可以这样去考虑。如果第三个向量不在原平面中，那么将它缩放，就可以经过整条直线。而这个向量的缩放移动，带来的是整个原平面的移动。一个无限大的平面，上下移动无限长的距离，整个平面扫过的地方就是整个无限的三维空间。

线性相关$\text{(Linearly Dependent)}$

考虑 / 两个二维向量共线 / 或 / 第三个三维向量 / 处在 / 前两个向量张成的平面上。

• / 为断句。

那么我们拿走一个向量，剩余向量张成的空间仍然不会改变，那我们就称这几个向量是线性相关的$\text{(Linearly Dependent)}$。

反之，拿走一个向量会让张成的空间少一个维度，那我们就称这几个向量是线性无关的$\text{(Linearly Independent)}$。

思考题的证明

先看题

张成该空间的一个线性无关的向量集

用反证法，原命题中共两个重点：张成该空间、线性无关。

$1.$ 张成该空间

如果这个向量集不能张成该空间，那么它一定不是该空间的一个基。负责它不能形成这这个空间。

$2.$ 线性无关

以二维空间为例。如果两个向量线性相关，那么他们张成的就是一条直线，而不是一个平面。

本章总结

单位向量、线性组合、张成的空间、线性相关立即关于思考题的想法。