线性代数笔记01

合集 - 线性代数(3)

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蓝月の笔记——线性代数 $.1$

视频链接

$\mathfrak{The}\mathfrak{introduction}\mathfrak{of}\mathfrak{numbers}\mathfrak{as}\mathfrak{coordinates}\mathfrak{is}\mathfrak{an}\mathfrak{act}\mathfrak{of}\mathfrak{violence}\mathfrak{.}$

引入一些数作为坐标是一种鲁莽的行为。

向量$(\text{Vector})$

我们先来了解线性代数的本质——向量$(\text{vector})$。

向量有三种表示方式

• 图像
• 符号
• 矩阵

在数学中，图像表示的向量，是一条平面直角坐标系上原点 $(0,0)$ 至给出点 $(x,y)$ 的一条有方向的线段，其中箭头指向 $(x,y)$。

下面给出一个向量的三种表示方式。

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$$\overrightarrow{v}$$

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$$\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]$$

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他们都表示一个从 $(0,0)$ 指向 $(5,4)$ 的一个箭头。

另一种理解方式：$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 代表从原点向右走 $x$ 个单位长度，向上走 $y$ 个单位长度。

之后的学习中，我们会把这三种向量一起用，第一种用来画图表示，第二种用来书写，第三种用来计算。

向量的加法

接下来考虑向量的计算。（这一段配合视频中的动画更佳）

设向量 $\overrightarrow{u}$ 和向量 $\overrightarrow{v}$ 分别为：

$$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]$$

在图中表示为

---

定义 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1+4\\ 3+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right]$

在图中表示为

根据第二种向量的理解方式，$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$ 也就是从原点右移 $x_1$ 个单位，上移 $y_1$ 个单位，右移 $x_2$ 个单位，上移 $y_2$ 个单位。组合起来，从原点开始右移 $x_1+x_2$ 个单位，上移 $y_1+y_2$ 个单位，就得到了 $\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right]$。

公式：$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right]$。

向量的数乘

顾名思义，向量的数乘就是一个向量乘上一个数

举个例子 $2\times \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$，根据小学学的乘法，$a\times b$ 就是 $a$ 个 $b$ 相加。

那么可以得到 $2\times \left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 8\end{array}\right]$

还是根据向量的第二种定义来理解 $a\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$：

• 最开始在原点
• 执行以下操作 $a$ 次：
• • 右移 $x$ 个单位
• • 上移 $y$ 个单位

在上面的操作中，一共右移了 $ax$ 单位，上移了 $ay$ 个单位，即 $\left[\begin{array}{c}ax\\ ay\end{array}\right]$。

公式：$a\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ ay\end{array}\right]$。

缩放$(\text{Scaling})$

这不是一种运算。

易知，当 $a\in \mathbb{R}$，每一个 $a\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ ay\end{array}\right]$ 中的 $(ax,ay)$ 都在同一条直线上。

那么每一个 $\left[\begin{array}{c}ax\\ ay\end{array}\right]$ 都可以看作 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 在方向不变的情况上关于长度的缩放。

(打不出 $\mathrm{\infty }$ 和 $-\mathrm{\infty }$，只能用 $999\cdots$ 和 $-999\cdots$ 代替)

特别地，当 $a<0$ 时，这个缩放后的向量与原方向相反。

那么我们定义一个之后会广泛应用的名词：标量。

标量$(\text{Scalars})$：用来缩放向量的常数。例如前文提到的的 $a$。

将向量 $\overrightarrow{v}$ 缩放，标量为 $a$。结果为：

• 当 $a>0$ 时，方向不变，长度为原长乘上 $a$；
• 当 $a<0$ 时，方向相反，长度为原长乘上 $a$；
• 当 $a=0$ 时，$\overrightarrow{v}$ 汇成一个点，坐标为 $(0,0)$。

三维向量

定义几乎和二维向量没什么区别，运算和二维向量一模一样。

定义

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$$\overrightarrow{v}$$

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$$\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 5\end{array}\right]$$

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都是一条 $(0,0,0)$ 指向 $(3,2,5)$ 的一个箭头。

计算：

加法：$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2\end{array}\right]$

数乘：$a\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ ay\\ az\end{array}\right]$。

缩放同理。

本章总结

二、三维向量的定义、加法、数乘。