高等数学·定积分与反常积分

定积分与反常积分

定积分

一、定积分概念

1.定义

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & \mathrm{定}\mathrm{义}:\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{且}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(2)}& & (1)\mathrm{分}\mathrm{割}：\mathrm{将}[a,b]\mathrm{分}\mathrm{成}n\mathrm{个}[x_{i-1},x_i]\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}\text{(3)}& & (2)\mathrm{求}\mathrm{和}：[x_{i-1},x_i]\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{一}\mathrm{点}{\xi }_i,\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i,\lambda =max\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,...,\mathrm{\Delta }{x}_n\text{(4)}& & (3)\mathrm{取}\mathrm{极}\mathrm{限}：\mathrm{若}\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }x\mathrm{\exists },\mathrm{且}\mathrm{极}\mathrm{值}\mathrm{不}\mathrm{依}\mathrm{赖}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{分}\mathrm{发}\mathrm{以}\mathrm{及}\mathrm{点}{\xi }_i\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{法},\mathrm{则}\mathrm{称}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{积},\text{(5)}& & {\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}f(\xi )\mathrm{\Delta }{x}_i& \text{(6)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\text{(7)}& & (1)\lambda \to 0\to \nleftarrow n\to \mathrm{\infty }\text{(8)}& & (2)\mathrm{定}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{值},\mathrm{与}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{有}\mathrm{关},\mathrm{与}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{量}x\mathrm{无}\mathrm{关}\text{(9)}& & {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt\text{(10)}& & (3)\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_0^{1}f(x)dx\mathrm{\exists },\mathrm{将}[0,1]n\mathrm{等}\mathrm{分}，\mathrm{此}\mathrm{时}\mathrm{\Delta }{x}_i=\frac{1}{n},\mathrm{取}{\xi }_i=\frac{i}{n},\text{(11)}& & {\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}nf({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\end{array}$$

定理：(线性)

$$\begin{array}{}\text{(12)}& & \int [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx\end{array}$$

注解：积分无小事

$$\begin{array}{}\text{(13)}& & \int e^{\pm x^2}dx,\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{积}\mathrm{不}\mathrm{出}\mathrm{来}\end{array}$$

2.定积分存在的充分条件

$$\begin{array}{}\text{(14)}& & \mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(15)}& & \mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{有}\mathrm{上}\mathrm{界},\mathrm{且}\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点},\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(16)}& & \mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{类}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点},\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{必}\mathrm{定}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$$

3.定积分的几何意义

$$\begin{array}{}\text{(17)}& & (1)f(x)⩾0,{\int }_a^{b}f(x)dx=S\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& & (2)f(x)⩽0,{\int }_a^{b}f(x)dx=-S\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& & (3)f(x)⩾0\cup f(x)⩽0,{\int }_a^{b}f(x)dx=S_1+S_3-S_2\end{array}$$

二、定积分的性质

1.不等式性质

$$\begin{array}{}\text{(20)}& & (1)\mathrm{保}\mathrm{序}\mathrm{性}：\mathrm{若}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}f(x)⩽g(x),\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)dx⩽{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& & (2)\mathrm{若}M\mathrm{及}m\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{是}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值},\text{(22)}& & \mathrm{则}m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)dx⩽M(b-a)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(23)}& & \mathrm{证}\mathrm{明}：M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\text{(24)}& & m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\text{(25)}& & {\int }_a^{b}f(x)dx=S_{ADBC}=S_2+S_3\text{(26)}& & S_3⩽S_2+S_3⩽S_1+S_2+S_3\text{(27)}& & \iff m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)dx⩽M(b-a)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(28)}& & (3)|{\int }_a^{b}f(x)dx|⩽{\int }_a^b|f(x)|dx\end{array}$$

2.中值定理

$$\begin{array}{}\text{(29)}& & (1)\mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a),(a<\xi <b)\text{(30)}& & \mathrm{称}\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{值}\text{(31)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：F^{\prime }(x)=f(x),F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx,f(\xi )(b-a)=F^{\prime }(\xi )(b-a)\text{(32)}& & (2)\mathrm{若}f(x),g(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，g(x)\mathrm{不}\mathrm{变}\mathrm{号},\mathrm{则}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

三、积分上限函数

$$\begin{array}{}\text{(33)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{b}f(t)dt\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{且}{\int }_a^{b}f(t)dt)\text{(34)}& & ({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x),({\int }_a^{x^2}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x^2)\ast 2x\text{(35)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},{\varphi }_1(x),{\varphi }_2(x)\mathrm{为}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{b}f(t)dt\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{且}({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt{)}^{\prime }\text{(36)}& & =f[{\varphi }_2(x)]\ast {\varphi }_2^{\prime }(x)-f[{\varphi }_1(x)]\ast {\varphi }_1^{\prime }(x)=({\int }_{{\varphi }_1(x)}^{0}f(t)dt+{\int }_{{\varphi }_2(x)}^{0}f(t)dt{)}^{\prime }\text{(37)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[-l,l]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}\text{(38)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}f(x)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{那}\mathrm{么}{\int }_0^{x}f(t)dt\mathrm{必}\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\text{(39)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{那}\mathrm{么}{\int }_0^{x}f(t)dt\mathrm{必}\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$$

四、定积分的计算

1.牛顿莱布尼茨公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

2.换元积分法

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\mathrm{\Phi }(t)){\mathrm{\Phi }}^{\prime }(t)dt$$

3.分部积分法

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

4.奇偶性和周期性

$$\begin{array}{}\text{(40)}& & (1)\mathrm{设}f(x)\mathrm{为}[-a,a]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}(a0),\mathrm{则}\text{(41)}& & {\int }_{-a}af(x)dx=\{\begin{array}{ll}0,& f(x)\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx,& f(x)\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}\text{(42)}& & (2)\mathrm{设}f(x)\mathrm{是}\mathrm{以}T\mathrm{为}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}\mathrm{对}\mathrm{\forall }A，\mathrm{有}{\int }_a^{a+T}f(x)={\int }_0^{T}f(x)dx\end{array}$$

5.已有公式

$$\begin{array}{}\text{(43)}& & (1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\ast \frac{n-3}{n-2}\ast ...\ast \frac{1}{2}\ast \frac{\pi }{2},& n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}\\ \frac{n-1}{n}\ast \frac{n-3}{n-2}\ast ...\ast \frac{2}{3},& n\mathrm{为}\mathrm{大}\mathrm{于}1\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{数}\end{array}\text{(44)}& & (2){\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx(f(x)\mathrm{为}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数})\end{array}$$

6.经典例题：

例题1:

$$\begin{array}{}\text{(45)}& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})\text{(46)}& & \mathrm{法}1：\mathrm{夹}\mathrm{逼}\mathrm{定}\mathrm{理}+\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\text{(47)}& & \frac{1}{1+x}<\ln (x+1)<x\text{(48)}& & \mathrm{令}x=\frac{1}{n}\text{(49)}& & \mathrm{得}\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln (\frac{1}{n}+1)=\ln (n+1)-\ln (n)<\frac{1}{n}\text{(50)}& & \mathrm{得}\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\text{(51)}& & \mathrm{得}\frac{1}{n+n}<\ln (n+n)-\ln (n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\text{(52)}& & \mathrm{得}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\text{(53)}& & \mathrm{法}2：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})\mathrm{中}\text{(54)}& & \frac{1}{n+1}\mathrm{中}n\mathrm{为}\mathrm{主}\mathrm{体}，1\mathrm{为}\mathrm{变}\mathrm{体}\text{(55)}& & \frac{\mathrm{变}\mathrm{体}}{\mathrm{主}\mathrm{体}}{\to }^{n\to \mathrm{\infty }}\{\begin{array}{l}0,\mathrm{次}(\mathrm{夹}\mathrm{逼}\mathrm{定}\mathrm{理})\\ A\ne 0,\mathrm{同}(\mathrm{定}\mathrm{积}\mathrm{分})\end{array}\text{(56)}& & \underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(b-a)={\int }_0^1\frac{1}{1+x}=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2\end{array}$$

例题2

$$\begin{array}{}\text{(57)}& & \mathrm{设}f(x)={\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{\pi -t}dt,\mathrm{计}\mathrm{算}{\int }_0^{\pi }f(x)dx.\text{(58)}& & \mathrm{法}1：\mathrm{分}\mathrm{部}\mathrm{积}\mathrm{分}+\mathrm{换}\mathrm{元}\mathrm{法}\text{(59)}& & \mathrm{原}\mathrm{式}=xf(x){|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{\pi -x}dx\text{(60)}& & =\pi {\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{\pi -t}dt-{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{\pi -x}dx\text{(61)}& & ={\int }_0^{\pi }\frac{(\pi -x)\sin x}{\pi -x}dx=2\text{(62)}& & \mathrm{法}2：\text{(63)}& & \mathrm{原}\mathrm{式}={\int }_0^{\pi }f(x)d(x-\pi )=(x-\pi )f(x){|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{(x-\pi )\sin x}{\pi -x}dx=2\text{(64)}& & \mathrm{法}3：\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{累}\mathrm{次}\mathrm{积}\mathrm{分}\text{(65)}& & \mathrm{原}\mathrm{式}={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{x\sin t}{\pi -t}dtdx\end{array}$$

例题3

$$\begin{array}{}\text{(66)}& & \mathrm{法}1：\mathrm{构}\mathrm{造}\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{函}\mathrm{数}\text{(67)}& & \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{题}\mathrm{意}f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数},f\mathrm{最}\mathrm{低}\mathrm{点}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{值}\mathrm{为}-1\text{(68)}& & \mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{构}\mathrm{造}\mathrm{符}\mathrm{合}\mathrm{题}\mathrm{意}\mathrm{的}\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=2x^2-1\text{(69)}& & \mathrm{法}2：\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{判}\mathrm{断}\end{array}$$

例题4

$$\begin{array}{}\text{(70)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}\underset{x\to 0}{lim}\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln 1+t^3}{t}dt}=c(c\ne 0)\text{(71)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}\underset{x\to 0}{lim}ax-\sin x=0\mathrm{并}\mathrm{且}\underset{x\to 0}{lim}{\int }_b^x\frac{\ln 1+t^3}{t}dt=0\text{(72)}& & \mathrm{化}\mathrm{简},\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\mathrm{法}\mathrm{则}\mathrm{上}\mathrm{下}\mathrm{求}\mathrm{导}\text{(73)}& & \underset{x\to 0}{lim}\frac{ax-\sin x}{{\int }_b^x\frac{\ln 1+t^3}{t}dt}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{a-\cos x}{\frac{\ln 1+x^3}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{a-\cos x}{x^2}\text{(74)}& & \Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\end{array}$$

反常积分

一、无穷区间上的反常积分

$$\begin{array}{}\text{(75)}& & (1){\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx\text{(76)}& & (2){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx\text{(77)}& & (3){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx\mathrm{和}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx\mathrm{都}\mathrm{收}\mathrm{敛},\mathrm{则}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx\mathrm{收}\mathrm{敛}\text{(78)}& & \mathrm{且}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{(79)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{发}\mathrm{散},\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{也}\mathrm{发}\mathrm{散}\text{(80)}& & \mathrm{常}\mathrm{用}\mathrm{结}\mathrm{论}：{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}& p1,\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ & p\le 1,\mathrm{发}\mathrm{散}\end{array},(a0)\end{array}$$

二、无界函数的反常积分

$$\begin{array}{}\text{(81)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}a\mathrm{的}\mathrm{任}\mathrm{一}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{都}\mathrm{无}\mathrm{界},\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{点}a\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{瑕}\mathrm{点}(\mathrm{也}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{界}\mathrm{点}).\mathrm{无}\mathrm{界}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{成}\mathrm{为}\mathrm{瑕}\mathrm{积}\mathrm{分}\text{(82)}& & (1)\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}(a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{点}a\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{瑕}\mathrm{点}.\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{极}\mathrm{限}\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx\mathrm{\exists },\text{(83)}& & \mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{此}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{区}\mathrm{间},\mathrm{记}\mathrm{作}{\int }_a^{b}f(x)dx,\mathrm{即}{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx\text{(84)}& & \mathrm{这}\mathrm{时}\mathrm{也}\mathrm{称}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{收}\mathrm{敛},\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{上}\mathrm{述}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{则}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{发}\mathrm{散}\text{(85)}& & (2)\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[a,b)\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{点}b\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{瑕}\mathrm{点},\mathrm{则}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{类}\mathrm{似}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx\text{(86)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{除}\mathrm{点}c(a<c<b)\mathrm{外}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{点}c\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{瑕}\mathrm{点},\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_a^{c}f(x)dx\mathrm{和}{\int }_c^{b}f(x)dx\mathrm{都}\mathrm{收}\mathrm{敛}\text{(87)}& & \mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{反}\mathrm{常}\mathrm{积}\mathrm{分}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{收}\mathrm{敛},\mathrm{且}{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx\text{(88)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{至}\mathrm{少}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{发}\mathrm{散},\mathrm{则}\mathrm{称}{\int }_a^{b}f(x)dx\mathrm{发}\mathrm{散}\text{(89)}& & \mathrm{常}\mathrm{用}\mathrm{结}\mathrm{论}：\text{(90)}& & {\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}\{\begin{array}{ll}& p<1,\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ & p\ge 1,\mathrm{发}\mathrm{散}\end{array}\text{(91)}& & {\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}\{\begin{array}{ll}& p<1,\mathrm{收}\mathrm{敛}\\ & p\ge 1,\mathrm{发}\mathrm{散}\end{array}\end{array}$$

三、例题

例题1

$$\begin{array}{}\text{(92)}& & \int \frac{1}{{\ln }^{\alpha }x}d(\ln x){\to }^{\ln x=u}\int \frac{du}{u^{\alpha +1}}\{\begin{array}{ll}& \alpha -1<1\\ & \alpha +11\end{array}\Rightarrow 0<\alpha <2\end{array}$$

定积分的应用

一、几何应用

1.平面图形的面积

$$\begin{array}{}\text{(93)}& & (1)\mathrm{若}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{域}D\mathrm{由}\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x),y=g(x)(f(x)\ge g(x)),x=a,x=b(a<b)\mathrm{所}\mathrm{围}\mathrm{成},\mathrm{则}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{域}D\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{为}\text{(94)}& & S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx\text{(95)}& & (2)\mathrm{若}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{域}D\mathrm{由}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{由}\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta (\alpha <\beta )\mathrm{所}\mathrm{围}\mathrm{成},\mathrm{则}\mathrm{其}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{为}S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta \end{array}$$

2.旋转体的体积

$$\begin{array}{}\text{(96)}& & \mathrm{若}\mathrm{区}\mathrm{域}D\mathrm{由}\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)(f(x)\ge 0)\mathrm{和}\mathrm{直}\mathrm{线}x=a,x=b(0\le a<b)\mathrm{及}x\mathrm{轴}\mathrm{所}\mathrm{围}\mathrm{成},\mathrm{则}\text{(97)}& & (1)\mathrm{区}\mathrm{域}D\mathrm{绕}x\mathrm{轴}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{一}\mathrm{周}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{体}\mathrm{体}\mathrm{积}\mathrm{为}{V}_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx\text{(98)}& & (2)\mathrm{区}\mathrm{域}D\mathrm{绕}y\mathrm{轴}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{一}\mathrm{周}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{体}\mathrm{体}\mathrm{积}\mathrm{为}{V}_y=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx\text{(99)}& & (3)\mathrm{区}\mathrm{域}D\mathrm{绕}y=kx+b\mathrm{轴}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{一}\mathrm{周}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{体}\mathrm{体}\mathrm{积}\mathrm{为}V=2\pi {\int }_D\int r(x,y)d\sigma \text{(100)}& & \mathrm{例}\mathrm{如}：\mathrm{求}y=x,y=x^2\mathrm{在}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{象}\mathrm{限}\mathrm{的}\mathrm{封}\mathrm{闭}\mathrm{图}\mathrm{形}\mathrm{绕}\mathrm{转}\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{体}\mathrm{积}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(101)}& & V_x=2\pi {\int }_D\int yd\sigma =2\pi {\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}ydy\text{(102)}& & V_y=2\pi {\int }_D\int xd\sigma =2\pi {\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}xdy\text{(103)}& & V_{x=1}=2\pi {\int }_D\int (1-x)d\sigma \text{(104)}& & V_{y=2}=2\pi {\int }_D\int (2-y)d\sigma \end{array}$$

3.曲线弧长

$$\begin{array}{}\text{(105)}& & (1)C:y=y(x),a\le x\le b,s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx\text{(106)}& & (2)C:\{\begin{array}{ll}& x=x(t)\\ & y=y(t)\end{array},\alpha \le t\le \beta ,s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dx\text{(107)}& & (3)C:\rho =\rho (\theta ),\alpha \le \theta \le \beta ,s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2+{\rho }^{\prime 2}}dx\end{array}$$

4.旋转体侧面积

$$\begin{array}{}\text{(108)}& & \mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)(f(x)\ge 0)\mathrm{和}\mathrm{直}\mathrm{线}x=a,x=b(0\le a<b)\mathrm{及}x\mathrm{轴}\mathrm{所}\mathrm{围}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{绕}x\mathrm{轴}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{侧}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{为}\text{(109)}& & S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx\end{array}$$

二、物理应用

1.压力

2.变力做功

3.引力（较少考）

例题1

$$\begin{array}{}\text{(110)}& & \mathrm{分}\mathrm{析}\mathrm{题}\mathrm{意}\mathrm{可}\mathrm{知},\mathrm{该}\mathrm{容}\mathrm{器}\mathrm{由}{x}^2+y^2=1\mathrm{的}\mathrm{圆}\mathrm{和}{x}^2+(y-1{)}^2=1\mathrm{的}\mathrm{偏}\mathrm{心}\mathrm{圆}\mathrm{组}\mathrm{成}\text{(111)}& & \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{避}\mathrm{免}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{表}\mathrm{达}\mathrm{式}\mathrm{带}\mathrm{来}\mathrm{的}\mathrm{困}\mathrm{难}\text{(112)}& & \mathrm{对}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{小}\mathrm{带}\mathrm{子}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{积}\mathrm{分}，\mathrm{带}\mathrm{子}\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{为}x，\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{为}-1\mathrm{到}\frac{1}{2}，{\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}\pi x^{2}dy\text{(113)}& & \mathrm{由}\mathrm{于}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}，\mathrm{将}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{乘}\mathrm{二}\text{(114)}& & (1)V=2\pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}{x}^{2}dy=2\pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)dy=\frac{9\pi }{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(115)}& & (2)W=F\ast S=G\ast S=mg\ast S=\rho VSg\text{(116)}& & \mathrm{上}\mathrm{部}\mathrm{为}{W}_1={\int }_{\frac{1}{2}}^2(2y-y^2)(2-y)dy\ast \rho g\text{(117)}& & \mathrm{下}\mathrm{部}\mathrm{为}{W}_2={\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)(2-y)dy\ast \rho g\text{(118)}& & W=W_1+W_2\end{array}$$

例题2

$$\begin{array}{}\text{(119)}& & F_p=P\ast A=\rho gh\ast A\text{(120)}& & \mathrm{将}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{分}\mathrm{为}\mathrm{上}\mathrm{部}\mathrm{和}\mathrm{下}\mathrm{部}，\mathrm{上}\mathrm{部}\mathrm{为}\mathrm{矩}\mathrm{形}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{和}\mathrm{下}\mathrm{部}\mathrm{的}\mathrm{抛}\mathrm{物}\mathrm{线}\mathrm{围}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{区}\mathrm{域}，\mathrm{对}\mathrm{其}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{依}\mathrm{次}\mathrm{求}\mathrm{解}\text{(121)}& & P_1=2\rho gh{\int }_1^{h+1}h+1-ydy=\rho g{h}^2\text{(122)}& & P_2=2\rho gh{\int }_0^1(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})\text{(123)}& & \frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(\mathrm{舍}\mathrm{去})\end{array}$$