高等数学·导数与微分

导数与微分

(-)导数与微分概念

1.导数

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{定}\mathrm{义}1：(\mathrm{导}\mathrm{数})(\mathrm{相}\mathrm{当}\mathrm{于}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{率})f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ & \mathrm{定}\mathrm{义}2：(\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数})(\mathrm{左}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导})\\ & f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ & \mathrm{定}\mathrm{义}2：(\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数})(\mathrm{右}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导})\\ & f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\end{array}$$

$$\mathrm{定}\mathrm{理}1：f^{\prime }(x)\mathrm{可}\mathrm{导}\iff f_{-}^{\prime }(x)\text{exist}{f}_{+}^{\prime }(x)\text{exist},f_{-}^{\prime }(x)=f_{+}^{\prime }(x)$$

2.微分

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & \mathrm{定}\mathrm{义}4：(\mathrm{微}\mathrm{分})\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{为}\text{(2)}& & \mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)\text{(3)}& & \mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微},\mathrm{称}A\mathrm{\Delta }x\mathrm{为}\mathrm{微}\mathrm{分}，\mathrm{记}\mathrm{为}dy=A\mathrm{\Delta }x\text{(4)}& & dy\approx \mathrm{\Delta }y\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{微}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{用}\mathrm{均}\mathrm{与}\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{代}\mathrm{替}\mathrm{非}\mathrm{均}\mathrm{匀}\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{量}\text{(5)}& & \mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{改}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{主}\mathrm{部}\end{array}$$

$$\mathrm{定}\mathrm{理}2：\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微}\iff f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{且}\mathrm{有}dy=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x=f^{\prime }(x_0)dx$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& & S(x)=x^2,S(x+\mathrm{\Delta }x)=(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2\text{(7)}& & \mathrm{\Delta }S=(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2=2x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2=2x+O(\mathrm{\Delta }x)\text{(8)}& & \mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{主}\mathrm{部}(ds=2x\mathrm{\Delta }x=S^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x)+\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}\text{(9)}& & \mathrm{\Delta }S\approx 2x-\mathrm{\Delta }x(\mathrm{\Delta }x\to 0)\text{(10)}& & \text{(11)}& & \mathrm{\Delta }f(x)=A\mathrm{\Delta }x+O(\mathrm{\Delta }x)(x\to 0)\iff \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x-A\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=0\text{(12)}& & (1)\mathrm{若}\text{exist}A,\mathrm{使}\mathrm{得}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f-A\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}\text{(13)}& & (2)\mathrm{若}f\mathrm{可}\mathrm{微},\mathrm{则}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f-f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=0\end{array}$$

3.导数与微分的几何意义

4.连续，可导，可微之间的关系

$$\begin{array}{}\text{(14)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}\iff \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\text{(15)}& & \iff \underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=0\mathrm{即}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }f=0\end{array}$$

(二)导数公式及求导法则

"乘除变加减"

$$u^v=e^{vlnu}$$

$$y=u^v\iff lny=vlnu$$

高阶导数

$$\begin{array}{}\text{(16)}& & \mathrm{设}y=Sin3x,\mathrm{求}{y}^{(n)}\text{(17)}& & y^{\prime }=Cos3x\ast 3=Sin(3x+\frac{\pi }{2})\ast 3\text{(18)}& & y^{″}=Cos(3x+\frac{\pi }{2})\ast 3^2=Sin(3x+2\ast \frac{\pi }{2})\text{(19)}& & \Rightarrow y^{(n)}=Sin(3x+n\ast \frac{\pi }{2})\ast 3^n\text{(20)}& & y=Sin(ax+b)\Rightarrow y^{(n)}=Sin(3x+n\ast \frac{\pi }{2})\ast 3^n\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& & \mathrm{设}y=x^{2}Cosx,\mathrm{求}{y}^{(n)}\text{(22)}& & \mathrm{令}u=x^2,v=cosx\text{(23)}& & u^{\prime }=2x,u^{″}=2,u^{‴}=0,...u^{(n)}=0\text{(24)}& & (uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{u}^k{v}^{(n-k)}\text{(25)}& & y^{(n)}=C_n^0{x}^{2}Cos(x+n\ast \frac{\pi }{2})+C_n^1(2x)Cos(x+(n-1)\frac{\pi }{2})+C_n^2(2)Cos(x+(n-2)\ast \frac{\pi }{2})\end{array}$$

(三)微分法

1.复合函数与初等函数的微分法

(1).基本微分

(2).复合函数微分法（链式法则）

$$\begin{array}{}\text{(26)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}u=\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{于}\mathrm{点}x\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(u)\mathrm{于}\mathrm{点}u=\mathrm{\Phi }(u)\mathrm{可}\mathrm{导}\text{(27)}& & \mathrm{则}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(\mathrm{\Phi }(x))\mathrm{在}\mathrm{点}x\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{且}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}\text{(28)}& & \mathrm{或}\mathrm{写}\mathrm{成}[f(\mathrm{\Phi }(x)){]}^{\prime }=f(\mathrm{\Phi }(x)){\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(29)}& & \mathrm{设}u=\tan y,x=e^t,\mathrm{试}\mathrm{将}\mathrm{下}\mathrm{面}y\mathrm{关}\mathrm{于}x\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}F(\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\frac{dy}{dx},y,x)=0\text{(30)}& & \mathrm{解}：\text{(31)}& & y=y(u(t(x))),t=\ln x,y=\arctan u,y=\arctan u(\ln (x))\text{(32)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\ast \frac{du}{dt}\ast \frac{dt}{dx}=\frac{1}{1+u^2}\ast \frac{du}{dt}\ast \frac{1}{x}\text{(33)}& & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=d[\frac{dy}{du}]\ast \frac{du}{dt}\ast \frac{dt}{dx}+\frac{dy}{du}\ast d[\frac{du}{dt}]\ast \frac{dt}{dx}+\frac{dy}{du}\ast \frac{du}{dt}\ast d[\frac{dt}{dx}]\text{(34)}& & [\frac{2u}{(1+u^2{)}^2}]\ast \frac{du}{dt}\ast \frac{dt}{dx}+\frac{1}{1+u^2}\ast [\frac{d^{2}u}{d{t}^2}\ast \frac{1}{x}]\ast \frac{1}{x}+\frac{1}{1+u^2}\ast \frac{du}{dt}\ast [-\frac{1}{x^2}]\text{(35)}& & \end{array}$$

2.隐函数微分法

例题

$$\begin{array}{}\text{(36)}& & \mathrm{设}y=y(x)\mathrm{由}\mathrm{方}\mathrm{程}{e}^y+6xy+x^2-1=0\mathrm{确}\mathrm{定},y^{″}(0);\mathrm{设}y=y(x)\mathrm{由}\mathrm{方}\mathrm{程}x{e}^{f(y)}=e^y\mathrm{确}\mathrm{定},f\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{且}{f}^{\prime }\ne 1,\mathrm{求}{y}^{″}(x)\text{(37)}& & e^y\ast y^{\prime }+6y+6x{y}^{\prime }+2x=0\text{(38)}& & e^y\ast y^{″}+e^y\ast (y^{\prime }{)}^2+6x{y}^{″}+12y^{\prime }+2=0\end{array}$$

例题

1.

$$\begin{array}{}\text{(39)}& & \mathrm{设}{f}^{\prime }(x_0)=-1,\mathrm{则}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=?\text{(40)}& & \text{(41)}& & \mathrm{解}1：\text{(42)}& & I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{(-2)\frac{f(x_0-2x)-f(x_0)}{(-2x)}+\frac{f(x_0-x)-f(x_0)}{-x}}=-1\text{(43)}& & \mathrm{解}2：\text{(44)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}{f}^{\prime }(x_0)=-1,I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{(-1)\ast \frac{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}{-x}}=-1\end{array}$$

2.

$$\begin{array}{}\text{(45)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}x=0\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{且}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h^2)}{h^2}=1,\mathrm{则}\text{(46)}& & (A)f(0)=0\mathrm{且}{f}_{-}^{\prime }(0)\text{exist}\text{(47)}& & (B)f(0)=1\mathrm{且}{f}_{-}^{\prime }(0)\text{exist}\text{(48)}& & (C)f(0)=0\mathrm{且}{f}_{+}^{\prime }(0)\text{exist}\text{(49)}& & (D)f(0)=1\mathrm{且}{f}_{+}^{\prime }(0)\text{exist}\text{(50)}& & \text{(51)}& & \mathrm{解}：\text{(52)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}f(x)\mathrm{在}x=0\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续},\underset{x\to 0}{lim}f(x)=f(0)\text{(53)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h^2)}{h^2}=1,h\to 0,h^2=0,h\to 0,f(h^2)=0\text{(54)}& & \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h^2)}{h^2}\stackrel{\mathrm{令}t=h^2}{=}\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(t)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=0\iff f_{+}^{\prime }(0)\text{exist}\end{array}$$

3.

$$\begin{array}{}\text{(55)}& & \mathrm{设}f(x)=|x^3-1|\mathrm{\Phi }(x),\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{在}x=1\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}x=1\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{的}\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{为}\mathrm{\Phi }(1)=?\text{(56)}& & \mathrm{分}\mathrm{析}\mathrm{问}\mathrm{题}：f(x)\mathrm{在}x=1\mathrm{处}\mathrm{什}\mathrm{么}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{可}\mathrm{导}\text{(57)}& & \mathrm{解}：\text{(58)}& & \underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{(x^3-1)\mathrm{\Phi }(x)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{(x-1)(x^2+x+1)\mathrm{\Phi }(x)}{x-1}=3\mathrm{\Phi }(1)\text{(59)}& & \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{(x^3-1)\mathrm{\Phi }(x)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{(x-1)(x^2+x+1)\mathrm{\Phi }(x)}{x-1}=-3\mathrm{\Phi }(1)\text{(60)}& & \text{(61)}& & \mathrm{又}\mathrm{因}f(x)\mathrm{在}x=1\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{则}3\mathrm{\Phi }(1)=-3\mathrm{\Phi }(1),\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{\Phi }(1)=0\text{(62)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}{b}^0+a^{n-2}{b}^1+...+a^0{b}^{n-1})\end{array}$$

4.

$$\begin{array}{}\text{(63)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}x=1\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续},\mathrm{且}\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)}{x-1}=2,\mathrm{求}{f}^{\prime }(1).& \mathrm{解}：\text{(64)}& & \underset{x\to 1}{lim}f(x)=f(1)\text{(65)}& & \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)}{x-1}(x-1)=0=f(1)\text{(66)}& & f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2\end{array}$$

三、参数方程所确定函数的微分法

$$\begin{array}{}\text{(67)}& & \mathrm{设}y=y(x)\mathrm{由}\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}\{\begin{array}{ll}& \text{x=x(t)}\\ & \text{y=y(t)}\end{array}\mathrm{所}\mathrm{确}\mathrm{定}，\mathrm{则}\text{(68)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}={\mathrm{\Phi }}^{\prime }({\mathrm{\Phi }}^{-1}(x),({\mathrm{\Phi }}^{-1})(x)),({\mathrm{\Phi }}^{-1})(t)=\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^1(t)},\frac{y^{″}(t)x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)}{[x^{\prime }(t){]}^3}\text{(69)}& & \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(70)}& & \mathrm{设}y=y(x)\mathrm{由}\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}\{\begin{array}{ll}& \text{x=x(t)}\\ & \text{y=y(t)}\end{array}\mathrm{所}\mathrm{确}\mathrm{定}，\mathrm{则}\text{(71)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}=\frac{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}\text{(72)}& & \frac{d^{2}y}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{(\frac{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}{)}^{\prime }}{x^{\prime }(t)}\end{array}$$

例题：

$$\begin{array}{}\text{(73)}& & y=y(x)\mathrm{由}\mathrm{参}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{程}\{\begin{array}{ll}& x=\ln (1+t{)}^2\\ & y=t-\arctan t\end{array}\mathrm{求}\frac{d^{2}y}{dx}\text{(74)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1+t^2}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t}{2}\text{(75)}& & \frac{d^{2}y}{dx}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{t^{+}1}2t}=\frac{t^2+1}{4t}\end{array}$$

四、反函数的微分法

$$\begin{array}{}\text{(76)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{可}\mathrm{导}，\mathrm{且}{f}^{\prime }(x)\ne 0，\mathrm{其}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{是}x=f^{-1}(y)\text{(77)}& & \mathrm{则}\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)},\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{(\frac{dy}{dx}{)}^3}=-\frac{f^{″}(x)}{[f^{\prime }(x){]}^3}\end{array}$$

五、分段函数的微分法

在分段区间内，按初等函数的微分法求;在分段点处，用导数、左右导数定义及导数与左右导数的关系求

$$\begin{array}{}\text{(78)}& & \mathrm{设}f(x)=\{\begin{array}{l}1-2x^2,x\le -1\\ x^3,-1\le x\le 2\\ 12x-16,x\ge 2\end{array}\text{(79)}& & (1)\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}g(x)\text{(80)}& & (2)g(x)\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{有}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}、\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{点}\end{array}$$