高等数学·极限

极限

极限的定义

1）数列极限

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A\iff \mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}N,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}nN\mathrm{时},\mathrm{有}|x_n-A|<ϵ\text{(2)}& & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}M0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}|x|M\mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<ϵ\text{(3)}& & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}M0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}xM\mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<ϵ\text{(4)}& & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}M0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}x<M\mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<ϵ\text{(5)}& & \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}M0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}xM\mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<ϵ\end{array}$$

极限的性质

1）局部保号性

$$\begin{array}{}\text{(6)}& & \mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A0(<0),\text{(7)}& & \mathrm{则}\text{exist}\delta 0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}x\in U^0(x_0,\delta )\mathrm{时},f(x)0(<0)\end{array}$$

推论：保序性：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& & \mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A0(<0),\mathrm{则}\mathrm{\forall }\alpha <A(\beta A),\text{(9)}& & \text{exist}\delta 0,\mathrm{使}\mathrm{得}\mathrm{当}x\in U^0(x_0,\delta )\mathrm{时},f(x)\alpha (f(x)<\beta )\end{array}$$

2）局部有界性

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,\mathrm{则}\text{exist}{U}^0(x_0),\mathrm{使}\mathrm{得}f(x)\mathrm{在}{U}^0(x_0)\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\end{array}$$

3）不等式性质

$$\begin{array}{}\text{(11)}& & \mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,\text{(12)}& & \underset{x\to x_0}{lim}g(x)=B\mathrm{都}\mathrm{存}\mathrm{在},\text{(13)}& & \mathrm{且}f(x)\ge g(x),\text{(14)}& & \mathrm{则}A\ge B\text{(15)}& & \text{(16)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\mathrm{若}\mathrm{将}f(x)\ge g(x)\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{换}\mathrm{为}f(x)g(x),\mathrm{结}\mathrm{论}AB\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{成}\mathrm{立}\text{(17)}& & x\to +\mathrm{\infty },\frac{1}{x}\frac{1}{x+1}\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{推}\mathrm{出}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+1}\text{(18)}& & \mathrm{但}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{推}\mathrm{出}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}\ge \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+1}\end{array}$$

推论：

$$\mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{且}f(x)\ge 0(\le 0),\mathrm{则}A\ge 0(A\le 0)$$

4）四则运算

$$\begin{array}{}\text{(19)}& & \mathrm{若}limf(x)=A,limg(x)=B,\mathrm{则}\text{(20)}& & lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B\text{(21)}& & limf(x)g(x)=A\ast B\text{(22)}& & lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B},(B\ne 0)\text{(23)}& & \text{(24)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\mathrm{若}limf(x)\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在},limg(x)=B\mathrm{存}\mathrm{在},\text{(25)}& & \mathrm{则}lim[f(x)\pm g(x)]\mathrm{必}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在},\text{(26)}& & \mathrm{但}limf(x)g(x)\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{必}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(27)}& & \end{array}$$

数列极限

$$\begin{array}{}\text{(28)}& & \mathrm{定}\mathrm{义}1\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A:\text{(29)}& & \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}N0,\mathrm{当}nN\mathrm{时},\mathrm{恒}\mathrm{有}|x_n-A|<ϵ\text{(30)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\text{(31)}& & (1)ϵ\mathrm{与}N\mathrm{的}\mathrm{作}\mathrm{用}：\text{(32)}& & ϵ\mathrm{刻}\mathrm{画}{x}_n\mathrm{与}A\mathrm{的}\mathrm{接}\mathrm{近}\mathrm{程}\mathrm{度},N\mathrm{是}\mathrm{描}\mathrm{述}n\to \mathrm{\infty }\mathrm{的}\mathrm{过}\mathrm{程}\text{(33)}& & (2)\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}：\text{(34)}& & \mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{给}\mathrm{定}\mathrm{的}ϵ，\mathrm{在}ϵ\mathrm{领}\mathrm{域}，\mathrm{当}n\mathrm{足}\mathrm{够}\mathrm{大}\mathrm{时}，\mathrm{前}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{项}\mathrm{落}\mathrm{在}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{外}，\mathrm{其}\mathrm{余}\mathrm{都}\mathrm{落}\mathrm{在}(A-ϵ,A+ϵ)\mathrm{内}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(35)}& & (3)\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{有}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{与}\mathrm{前}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{项}\mathrm{无}\mathrm{关}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(36)}& & (4)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k-1}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k}=a:\text{(37)}& & \mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{exist}\stackrel{\Rightarrow }{\nLeftarrow }\mathrm{奇}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{exist}\text{(38)}& & \mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{exist}\stackrel{\Rightarrow }{\Leftarrow }\mathrm{奇}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{exist}=\mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{exist}\text{(39)}& & eg:a_n=(-1{)}^n,a_{2k-1}=-1,-1,-1,...,-1;a_{2k}=1,1,1,...,1;\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2k-1}\ne \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2k}\end{array}$$

例题1

$$\begin{array}{}\text{(40)}& & \mathrm{法}1：\mathrm{分}\mathrm{奇}\mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{列}\text{(41)}& & \mathrm{奇}\mathrm{数}\mathrm{项}：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{-1}=1\text{(42)}& & \mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{项}：\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^1=1\text{(43)}& & \mathrm{法}2：\mathrm{缩}\mathrm{放}\mathrm{法}+\mathrm{夹}\mathrm{逼}\mathrm{原}\mathrm{理}\text{(44)}& & (\frac{n+1}{n}{)}^{-1}\le (\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}\le \frac{n+1}{n}\text{(45)}& & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{-1}=1\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=1\text{(46)}& & I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=1\end{array}$$

例题2

$$\begin{array}{}\text{(47)}& & (1)\mathrm{解}\mathrm{法}:\mathrm{重}\mathrm{要}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}||a|-|b||\le |a-b|\text{(48)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\mathrm{由}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{可}\mathrm{知}\text{(49)}& & \mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}N0,\mathrm{当}nN\mathrm{时},|x_n-a|<ϵ\text{(50)}& & \mathrm{根}\mathrm{据}||x_n|-|a||\le |x_n-a|,\text{(51)}& & \mathrm{则}\mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}N0,\mathrm{当}nN\mathrm{时},||x_n|-|a||<ϵ\text{(52)}& & \mathrm{反}\mathrm{之}\mathrm{不}\mathrm{成}\mathrm{立},\mathrm{例}\mathrm{如}{x}_n=(-1{)}^n,\mathrm{则}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=1=|1|,\mathrm{但}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^n\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(53)}& & (2)\mathrm{由}(1)\mathrm{可}\mathrm{知},\mathrm{若}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0,\mathrm{则}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|0|=0\text{(54)}& & \mathrm{由}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=0,\mathrm{\forall }ϵ0,\text{exist}N0,\mathrm{当}nN\mathrm{时},||x_n|-0|<ϵ\text{(55)}& & \mathrm{即}|x_n-0|<ϵ\end{array}$$

求数列极限的方法：

$$\begin{array}{}\text{(56)}& & （1）\mathrm{将}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{极}\mathrm{限}\end{array}$$

函数极限

1)自变量趋于无穷大时函数的极限

例题

$$\begin{array}{}\text{(57)}& & \mathrm{极}\mathrm{限}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=?\text{(58)}& & \mathrm{解}：\text{(59)}& & {\sqrt{x}}^2=|x|\text{(60)}& & \mathrm{分}\mathrm{左}\mathrm{右}\text{(61)}& & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=1\text{(62)}& & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=-1\text{(63)}& & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\ne \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\text{(64)}& & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$$

2)自变量趋于有限值时函数的极限

$$\begin{array}{}\text{(65)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：(1)ϵ\mathrm{的}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{性},ϵ\mathrm{与}\delta \mathrm{时},\mathrm{恒}\mathrm{有}|f(x)-A|<ϵ\text{(66)}& & \Rightarrow A-ϵ<f(x)<A+ϵ\text{(67)}& & (2)\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}：f(x_0)\mathrm{这}\mathrm{一}\mathrm{点}\mathrm{可}\mathrm{无}\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{与}\mathrm{去}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{值}\mathrm{有}\mathrm{关}\mathrm{系}\end{array}$$

易错点：

$$\begin{array}{}\text{(68)}& & \mathrm{正}\mathrm{确}：\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1(x\to 0,x\ne 0)\text{(69)}& & \mathrm{错}\mathrm{误}：\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}=1\text{(70)}& & \mathrm{需}\mathrm{保}\mathrm{证}x\sin \frac{1}{x}\to 0,x\sin \frac{1}{x}\ne 0\text{(71)}& & \mathrm{即}\mathrm{在}0\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{去}\mathrm{心}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}x\sin \frac{1}{x}\ne 0\text{(72)}& & \mathrm{但}\mathrm{当}x=\frac{1}{n\pi },\mathrm{使}\mathrm{得}x\sin \frac{1}{x}=0\text{(73)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{原}\mathrm{始}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$$

极限性质

$$\begin{array}{}\text{(74)}& & 1)\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{性}\text{(75)}& & (1)\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{性}：\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{数}\mathrm{列}[x_n],\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{数}\mathrm{列}[x_n]\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(76)}& & x_n\to a,nN,\mathrm{因}\mathrm{为}{x}_n\le M\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(77)}& & x_n\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{元},\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}M\mathrm{大}\mathrm{于}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\text{(78)}& & \mathrm{收}\mathrm{敛}\stackrel{\Rightarrow }{\nLeftarrow }\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(79)}& & eg:x_n=(-1{)}^n\text{(80)}& & (2)\mathrm{局}\mathrm{部}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{性}：\mathrm{若}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\text{exist},\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{某}\mathrm{去}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(81)}& & \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\text{exist}\stackrel{\Rightarrow }{\nLeftarrow }f(x)\mathrm{局}\mathrm{部}\mathrm{有}\mathrm{界}(\mathrm{去}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{有}\mathrm{界})\text{(82)}& & eg:f(x)=\sin \frac{1}{x},\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}\mathrm{有}\mathrm{界},\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(83)}& & 2)\mathrm{保}\mathrm{号}\mathrm{性}\text{(84)}& & (1)\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{保}\mathrm{号}\mathrm{性}\text{(85)}& & \mathrm{设}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A\text{(86)}& & [1]\mathrm{如}\mathrm{果}A0(\mathrm{或}A<0),\mathrm{则}\mathrm{存}\mathrm{在}N0,\mathrm{当}nN,x_{n}0(\mathrm{或}{x}_n<0)\text{(87)}& & [2]\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{存}\mathrm{在}N0,\mathrm{当}nN\mathrm{时},x_n\ge 0(\mathrm{或}{x}_n\le 0),\mathrm{则}A\ge 0(\mathrm{或}A\le 0)\text{(88)}& & (2)\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{保}\mathrm{号}\mathrm{性}\text{(89)}& & [1]\mathrm{如}\mathrm{果}A0(\mathrm{或}A<0),\mathrm{则}\mathrm{存}\mathrm{在}\delta 0,\mathrm{当}x\in \dot{U}(x_0,\delta )\mathrm{时},f(x)0(\mathrm{或}f(x_0)<0)\text{(90)}& & [2]\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{存}\mathrm{在}\delta 0,\mathrm{当}x\in \dot{U}(x_0,\delta )\mathrm{时},f(x)\ge 0(\mathrm{或}f(x)\le 0),\mathrm{那}\mathrm{么}A\ge 0(\mathrm{或}A\le 0)\end{array}$$