高等数学·函数

函数

定义: 二要素：定义域&对应关系

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & y=f(x),x\in R\iff y=(t),t\in R\text{(2)}& & {\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(x)dx\text{(3)}& & \sqrt{x^2}=|x|=(x^2{)}^{\frac{1}{2}}\text{(4)}& & -\sqrt{x^2}=-|x|=-(x^2{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

例题：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& & \mathrm{证}\mathrm{明}：|\frac{x}{1+x^2}|\le \frac{1}{2}\text{(6)}& & \mathrm{用}{a}^2+b^2\ge 2ab\text{(7)}& & \mathrm{解}：|\frac{x}{1+x^2}|\ge |\frac{x}{2x}|=\frac{1}{2}\mathrm{得}\mathrm{证}\end{array}$$

基本初等函数：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& & \mathrm{常}\mathrm{函}\mathrm{数}:y=c\text{(9)}& & \mathrm{幂}\mathrm{函}\mathrm{数}:y=x^a\text{(10)}& & \mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{函}\mathrm{数}:y=a^x\text{(11)}& & \mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{函}\mathrm{数}:y={\log }_{a}x\text{(12)}& & \mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}:y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x,y=\csc x=\frac{1}{\sin x},y=\sec x=\frac{1}{\cos x},y=\cot x=\frac{1}{\tan x}\text{(13)}& & \mathrm{反}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}:y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x,y=arccotx\end{array}$$

arcsinx&sinx

$$\begin{array}{}\text{(14)}& & y=\arcsin x,x\in [-1,1],y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{(15)}& & \arcsin (x+\frac{\sqrt{2}}{2})=+\frac{\pi }{4}\text{(16)}& & \arcsin (x-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\pi }{4}\text{(17)}& & \arcsin (x+1)=+\frac{\pi }{2}\text{(18)}& & \arcsin (x-1)=-\frac{\pi }{2}\text{(19)}& & \arcsin x\mathrm{并}\mathrm{不}\mathrm{是}\sin x\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{只}\mathrm{是}\sin x\mathrm{在}x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{逆}\mathrm{映}\mathrm{射}\end{array}$$

arccosx&cosx

$$\begin{array}{}\text{(20)}& & y=\arccos x,x\in [-1,1],y\in [0,\pi ]\text{(21)}& & \arccos (+1)=0\text{(22)}& & \arccos (-1)=\pi \text{(23)}& & \arccos (\frac{1}{2})=\frac{\pi }{3}\text{(24)}& & \arccos x\mathrm{并}\mathrm{不}\mathrm{是}\cos x\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{只}\mathrm{是}\cos x\mathrm{在}x\in [0,\pi ]\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{逆}\mathrm{映}\mathrm{射}\end{array}$$

arctanx&tanx

$$\begin{array}{}\text{(25)}& & y=\arctan x,x\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }],y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{(26)}& & \arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}\text{(27)}& & \arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

arccotx&cotx

$$\begin{array}{}\text{(28)}& & y=arccotx,x\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }],y\in [0,\pi ]\text{(29)}& & \arctan (+\mathrm{\infty })=0\text{(30)}& & \arctan (-\mathrm{\infty })=\pi \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(31)}& & \mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{其}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}\text{(32)}& & \mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{其}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{可}\mathrm{导}(\mathrm{可}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}{x}^3\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}{x}^{\frac{1}{3}}\mathrm{在}0\mathrm{处}\mathrm{并}\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导})\end{array}$$

常用的三角恒等：

$$\begin{array}{}\text{(33)}& & {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{(34)}& & \sin 2x=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}\text{(35)}& & \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}\text{(36)}& & 1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x\text{(37)}& & 1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x\text{(38)}& & \arcsin x+arccosx=\frac{\pi }{2}(\mathrm{\forall }x\in [-1,1])\text{(39)}& & \arctan x+arccotx=\frac{\pi }{2}(\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }))\text{(40)}& & \arcsin x+\arcsin \sqrt{1-x^2}=\frac{\pi }{2}(\mathrm{\forall }x\in [0,1])\text{(41)}& & \arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}(\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty }))\end{array}$$

函数性质

1）奇偶性

$$\begin{array}{}\text{(42)}& & \mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}:f(-x)=-f(x),\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}f(-x)=f(x)\text{(43)}& & f,g\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}，f(g(x))\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{还}\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}？\text{(44)}& & \mathrm{用}\mathrm{定}\mathrm{义}:\text{(45)}& & f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))\iff f(g(x))\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$$

判断奇偶性的方法：

（1）定义

（2）奇偶函数的四则运算：奇函数代数和为奇函数，偶函数的代数和为偶函数，奇函数和偶函数的乘积为奇函数

（3）奇函数的复合运算：内外函数至少一个为偶函数，则复合函数为偶函数，奇函数与奇函数复合为奇函数

（4）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数，奇函数的原函数为偶函数，但偶函数的原函数未必为奇函数

$$f(x)=1,F(x)=x+1,{\int }_0^{x}f(t)dt\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$$

2）周期性

3）单调性

初等函数

由基本初等函数经四则运算以及复合运算后得到的函数

一个初等函数的绝对值还是初等函数

函数有界性

$$\begin{array}{}\text{(46)}& & \mathrm{有}\mathrm{界}\iff \mathrm{上}\mathrm{下}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(47)}& & \mathrm{无}\mathrm{界}\iff \mathrm{上}\mathrm{下}\mathrm{界}1\mathrm{个}\mathrm{或}\mathrm{没}\mathrm{有}\end{array}$$

判定有界性方法：

$$\begin{array}{}\text{(48)}& & 1)\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{对}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{值}\mathrm{放}\mathrm{大}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}，\mathrm{直}\mathrm{到}\mathrm{某}\mathrm{一}\mathrm{正}\mathrm{常}\mathrm{值}，\mathrm{按}\mathrm{最}\mathrm{值}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(49)}& & 2)\mathrm{若}f(x)\mathrm{在}D1,D2\mathrm{上}\mathrm{均}\mathrm{有}\mathrm{界}，\mathrm{则}\mathrm{在}D1\cup D2\mathrm{上}\mathrm{也}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(50)}& & 3)\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{的}(\mathrm{开}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}\mathrm{有}\mathrm{界}\tan x)\text{(51)}& & 4)\mathrm{收}\mathrm{敛}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(52)}& & 5)\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{局}\mathrm{部}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(53)}& & \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\Rightarrow f(x)\mathrm{必}\mathrm{在}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{某}\mathrm{空}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(54)}& & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\Rightarrow \mathrm{必}\mathrm{存}\mathrm{在}M,\mathrm{使}f(x)\mathrm{在}(M,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\end{array}$$

判定函数无界方法：

$$\begin{array}{}\text{(55)}& & \mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{大}\mathrm{量}\mathrm{必}\mathrm{无}\mathrm{界}(li{m}_{x\to \frac{\pi }{2}}\tan x=\mathrm{\infty })\text{(56)}& & \mathrm{局}\mathrm{部}\mathrm{无}\mathrm{界}\mathrm{必}\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{无}\mathrm{界}(f(x)=x\sin x)\end{array}$$

例题：

$$\begin{array}{}\text{(57)}& & \mathrm{证}\mathrm{明}：f(x)=\frac{\ln x}{x-1}\mathrm{在}(0,1)\mathrm{内}\mathrm{无}\mathrm{界}，\mathrm{在}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(58)}& & \mathrm{证}：\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)\mathrm{在}(0,ϵ)\mathrm{内}\mathrm{无}\mathrm{界}\Rightarrow f(x)\mathrm{在}(0,1)\mathrm{内}\mathrm{无}\mathrm{界}\text{(59)}& & \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=1,\mathrm{从}\mathrm{而}\text{exist}ϵ0,\mathrm{使}f(x)\mathrm{在}(1,1+ϵ)\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(60)}& & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\mathrm{从}\mathrm{而}\text{exist}M1+ϵ,\mathrm{使}f(x)\mathrm{在}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}\text{(61)}& & \mathrm{又}\mathrm{由}f(x)\mathrm{在}[M,+\mathrm{\infty }]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{从}\mathrm{而}\mathrm{有}\mathrm{界}，\mathrm{使}\mathrm{得}f(x)\mathrm{在}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{界}& \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(62)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：f(x)\mathrm{在}(1,1)\mathrm{处}\mathrm{无}\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{导}\mathrm{致}f(x)\mathrm{在}\mathrm{全}\mathrm{局}\mathrm{不}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{分}\mathrm{类}\mathrm{讨}\mathrm{论}\text{(63)}& & \mathrm{在}x\to 0^{+}\mathrm{时}，\mathrm{在}\mathrm{该}\mathrm{空}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}(0,ϵ)\mathrm{内}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{等}\mathrm{于}+\mathrm{\infty },\mathrm{故}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{无}\mathrm{上}\mathrm{界}，\mathrm{可}\mathrm{推}\mathrm{出}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{无}\mathrm{界}，\mathrm{进}\mathrm{一}\mathrm{步}\mathrm{可}\mathrm{推}\mathrm{出}f(x)\mathrm{在}(0,1)\mathrm{无}\mathrm{界}\text{(64)}& & \mathrm{在}x\to 1^{+}\mathrm{时}，\mathrm{在}\mathrm{该}\mathrm{空}\mathrm{心}\mathrm{领}\mathrm{域}(1,1+ϵ)\mathrm{内}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{等}\mathrm{于}1，\mathrm{故}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{上}\mathrm{界}，\mathrm{在}x\to +\mathrm{\infty }\mathrm{时},\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{等}\mathrm{于}0\mathrm{又}\mathrm{由}\mathrm{于}f(x)\mathrm{在}[1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{为}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{推}\mathrm{出}\mathrm{在}x\in [1,+\mathrm{\infty })f(x)\end{array}$$

复合函数

$$y=f(u),u=g(x),y\leftarrow g\leftarrow x(\mathrm{逐}\mathrm{一}\mathrm{传}\mathrm{递})$$

例题：

$$\begin{array}{}\text{(65)}& & f(\sqrt[3]{x}-1)=x-1,\mathrm{求}f(x)\text{(66)}& & \mathrm{解}：\mathrm{设}u=\sqrt[3]{x}-1\text{(67)}& & x=(u+1{)}^3,f(u)=(u+1{)}^3-1\text{(68)}& & f(x)=(x+1{)}^3-1\text{(69)}& & \text{(70)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\mathrm{凑}\mathrm{右}\mathrm{侧}\mathrm{表}\mathrm{达}\mathrm{式}(\mathrm{反}\mathrm{解}\mathrm{很}\mathrm{难}\mathrm{时})\end{array}$$

反函数

注解：

$$\begin{array}{}\text{(71)}& & 1.\mathrm{一}\mathrm{一}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{的}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{有}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{从}\mathrm{而}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{严}\mathrm{格}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\text{(72)}& & y=\sin x\mathrm{无}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{但}y=\sin x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\text{(73)}& & 2.\mathrm{函}\mathrm{数}x=f^{-1}(y)\mathrm{与}y=f^{-1}(x)\mathrm{为}\mathrm{同}\mathrm{一}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{前}\mathrm{者}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{与}y=f(x)\mathrm{相}\mathrm{同}，\mathrm{后}\mathrm{者}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{与}y=f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}y=x\mathrm{对}\mathrm{称}\text{(74)}& & 3.\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{\forall }x\in D,f^{-1}(f(x))=x;\mathrm{当}y\in f(D)\mathrm{时},\mathrm{有}f(f^{-1}(y))=y\end{array}$$

例题：

$$\begin{array}{}\text{(75)}& & \arcsin (\sin \theta )=\frac{\pi }{4},\mathrm{且}\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ),\mathrm{求}\theta =?\text{(76)}& & \mathrm{解}：\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )\Rightarrow \pi -\theta \in (0,\frac{\pi }{2})\text{(77)}& & \arcsin (\sin (\pi -\theta ))=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \pi -\theta =\frac{\pi }{4}\text{(78)}& & \theta =\frac{3\pi }{4}\end{array}$$