高等数学·二元函数可微与偏导的联系​

1.二元函数的可偏导

在二元函数中，一元函数的可导的概念变为可偏导，导函数的概念变为偏导函数，具体看下例：

二元函数f(x,y)对x、y的偏导函数分别为：

在求二元函数的偏导函数时，都是假设另外一个变量为常量，然后对余下那个变量求导数。例如，f(x,y)对x的偏导函数，就是假设y为常量，然后f(x,y)对变量x求导数即得。

对于某一点，函数f(x, y)在该点的两个偏导数可能都存在、可能只存在一个、也可能都不存在。

在点(0, 0)的两个偏导数只存在一个的函数例子：

在点(0, 0)的两个偏导数都不存在的函数例子：

在点(0, 0)的两个偏导数都存在的函数例子：

对于上面三个例子，小编建议大家亲手去算算偏导数，这样能加深对二元函数偏导数的理解。

2.二元函数的可微

某一点可微描述的是函数增量与自变量增量之间的线性关系。在一元函数中，若线性主部的系数只与该点有关，则可微。以此类推，在二元函数中，若多个自变量的线性主部的系数都只与该点有关，则可微。下面分别列出一元函数、二元函数函数增量与自变量增量之间的关系式：

对于一特定点，当A、B为常数时，即A、B与自变量增量无关，则函数在该点可微，且A、B分别为函数在该点对x、y求偏导后的偏导数。

3.可微、可偏导、连续、导函数连续之间的关系

为了方便比较一元函数，小编先给出一元函数在某点C上关于可微、可导、连续、导函数连续的关系图。在图1中，函数f(x)可微与可导等价，因此可微与可导之间是双向箭头；在点C可微、可导必能得出函数f(x)在点C连续，但连续不能推出f(x)在点C可导、可微。因此可微、可导与连续之间是单向箭头。而导函数在点C连续，很明显就能推出函数在点C可导、可微、连续，但反过来，无法推出导函数在点C连续。

图1.一元函数可微、可导关系示意图

小编提醒大家，一定要经常记忆上图，而且是要理解性地记忆，比如说一元函数可微，要能明白可微是什么，关系式如何写！

相比于一元函数，二元函数就复杂多了，下面先给出二元函数可微、可偏导、连续、导函数连续的关系图。

图2.多元函数可微、可偏导关系示意图

当然在记忆这些关系时，我们通常要花时间记忆的是那些不容易理解的关系，而这些不容易理解的关系是与一元函数相比较后的那些不同之处。

3.1可微与可偏导不等价

在阐述二元函数可微与可偏导不等价前，不妨先回顾下，为什么一元函数中可微与可导是等价的？

在一元函数中，如果函数f(x)在x=x0处可导，则有如下关系式：

假设在一元函数中，函数增量与自变量存在如下关系：

上式两边同除以△x，然后两边对△x取极限，可知A=m，则根据一元函数可微的定义，A只与x=x0有关，与△x无关，所以f(x)在x=x0可微。同理，不难得出在一元函数中，可微亦可推出可导。

那么在二元函数中，如何论证可微必可推导呢？

假设二元函数在点C(x0, y0)可微，则由可微的定义，必存在(x0, y0)的某邻域，使得下式成立：

不妨分别令△x=0、△y=0，根据①式可得：

之所以可以令△x=0、△y=0，是因为点(x0, y0+△y)和(x0+△x, y0)都在点(x0, y0)的可微邻域内。

对②中两式求极限，可得:

结合偏导数的定义和③中的两个极限，可知可微情况下，函数在点C的两个偏导数都存在，因此可微必可偏导。

尽管可微必可偏导，但反过来不成立，请看下面这个例子：

函数F在(0, 0)的两个偏导数都存在且为0，现在用反证法证明函数F在点(0, 0)不可微。假设函数F在原点可微，则根据可微定义，下列极限必存在，但是下列极限可以通过列举两条路径很容易验证不存在，原假设错误，所以可偏导不一定可微。

3.2 可偏导不一定连续

在二元函数关系图中，另外一个很让人费解的地方，是二元函数在某点的两个偏导数都存在，但是函数在这一点却不一定连续。为了说明这一点，请看下面这个函数：

相信大家都能很熟练地计算出函数F在原点对x、y的偏导数均为0，但是当曲线沿着y=x的路径趋于原点时，函数值会趋于1，不等于0，因此函数F在原点不连续。

从抽象的角度看，二元函数在某一点的两个偏导数都存在，只能说明二元函数沿x方向、沿y方向趋于该点的值等于函数在该点的定义值，但无法保证沿其它方向趋于该点的值也等于函数值。