高等数学·多元函数微分学

第四章 多元函数微分学

第一节 基本概念机结论

定义1：（二元函数）

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & z=f(x,y),(x,y)\in D\subset R^2\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(2)}& & f(x,y)=\arcsin (2x)+\ln y+\frac{\sqrt{4x-y^2}}{\ln (1-x^2-y^2)}\text{(3)}& & \mathrm{解}：-1\le 2x\le 1,y0,1-x^2-y^{2}0,1-x^2-y^2\ne 1,4x-y^2\ge 0\text{(4)}& & D=\{(x,y)|-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2},y0,x^2+y^2<1,x\ge \frac{1}{4}{y}^2\}\end{array}$$

定义2：（二元函数的极限）

$$\begin{array}{}\text{(5)}& & \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A\mathrm{或}\underset{x\to x_0,y\to y_0}{lim}f(x,y)=A\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(6)}& & \mathrm{求}\mathrm{极}\mathrm{限}\text{(7)}& & \mathrm{解}\mathrm{法}1；\text{(8)}& & \underset{x\to 0,y\to 0}{lim}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{(9)}& & \underset{x=r\cos \theta }{\overset{y=r\sin \theta }{=}}\underset{r\to 0}{lim}r\cos \theta r\sin \theta \frac{r^2\cos 2\theta }{r^2}=0\text{(10)}& & \mathrm{解}\mathrm{法}2：\text{(11)}& & 0\le |xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\le |xy|\text{(12)}& & \underset{x\to 0,y\to 0}{lim}0=0\le \underset{x\to 0,y\to 0}{lim}|xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}|\le \underset{x\to 0,y\to 0}{lim}|xy|=0\text{(13)}& & \iff \underset{x\to 0,y\to 0}{lim}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=0\text{(14)}& & \text{(15)}& & \mathrm{验}\mathrm{证}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(16)}& & (1)\underset{x\to 0,y\to 0}{lim}\frac{xy}{x^2+y^2}\text{(17)}& & (2)\underset{x\to 0,y\to 0}{lim}\frac{x^3+y^3}{x^2+y}\text{(18)}& & \mathrm{解}：\text{(19)}& & (1)\mathrm{令}y=kx\text{(20)}& & \underset{x\to 0,y=kx}{lim}\frac{xkx}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{k}{1+k^2}\text{(21)}& & (2)\mathrm{令}y=-x^2+x^4\text{(22)}& & \underset{x\to 0,y=-x^2+x^4}{lim}\frac{x^3+(x^4-x^2{)}^3}{x^2+(-x^2+x^4)}=\underset{x\to 0}{lim}[\frac{1}{x}+\frac{(x^4-x^2{)}^2}{x^4}]=\mathrm{\infty }\end{array}$$

注解：

$$\begin{array}{}\text{(23)}& & \mathrm{一}\mathrm{元}\mathrm{函}\mathrm{数}\{(x,f(x))|x\in D\}\text{(24)}& & \mathrm{多}\mathrm{元}\mathrm{函}\mathrm{数}\{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in D\}\end{array}$$

定义3（二院函数的连续性）

$$\begin{array}{}\text{(25)}& & f(x,y)\mathrm{在}\mathrm{点}{P}_0\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}:\underset{x\to x_0,y\to y_0}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{(26)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}1：z=f(x,y)\mathrm{于}{P}_0\mathrm{点}\mathrm{连}\mathrm{续}\iff \mathrm{\Delta }z=f(x,y)-f(x_0,y_0)\to 0(x\to x_0,y\to y_0)\text{(27)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}2："\mathrm{二}\mathrm{元}\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{函}\mathrm{数}"\mathrm{在}\mathrm{其}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{处}\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}，\underset{x\to 1,y\to 2}{lim}\frac{x+y}{x-y}=-3\end{array}$$

定理1

$$\begin{array}{}\text{(28)}& & \mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{域}D\subset R\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{界},\mathrm{且}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\end{array}$$

定义4（偏导数）

$$\begin{array}{}\text{(29)}& & \frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{Z}_x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}\text{(30)}& & f_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{Z}_y}{\mathrm{\Delta }y}=\underset{y\to y_0}{lim}\frac{f(x_0,y_{)}-f(x_0,y_0)}{y-y_0}\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(31)}& & (1)\mathrm{设}f(x,y)=\{\begin{array}{ll}& \frac{xy}{x^2+y^2},(x,y)\ne (0,0)\\ & 0,(x,y)=(0,0)\end{array},\mathrm{求}{f}_x^{\prime }(0,0)\mathrm{和}{f}_y^{\prime }(0,0),\mathrm{但}\underset{x\to 0,y\to 0}{lim}f(x,y)\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\text{(32)}& & (2)\mathrm{求}f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{并}\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}\mathrm{此}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{性}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(33)}& & （1）f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{0-0}{x}=0\text{(34)}& & \mathrm{同}\mathrm{理}\mathrm{得}{f}_y^{\prime }(0,0)=0& \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(35)}& & \underset{x\to 0^{\pm }}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\underset{x\to x^{\pm }}{lim}\frac{\sqrt{x^2}-0}{x}=\pm 1\text{(36)}& & \Rightarrow f_x^{\prime }(0,0),f_y^{\prime }(0,0)\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$$

定义5（全微分）

$$\begin{array}{}\text{(37)}& & \mathrm{若}z=f(x,y),\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )(\rho \to 0),\rho =\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2},\mathrm{则}\mathrm{称}z=f(x,y)\mathrm{在}\mathrm{点}{P}_0\mathrm{可}\mathrm{微}，\text{(38)}& & dz{|}_{(x_0,y_0)}=df{|}_{(x_0,y_0)}=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y\end{array}$$

注解：

$$\begin{array}{}\text{(39)}& & (1)\mathrm{若}\text{exist}A,B\mathrm{使}\mathrm{得}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f-A\mathrm{\Delta }x-B\mathrm{\Delta }y}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}=0,\mathrm{则}f\mathrm{于}(0,0)\mathrm{可}\mathrm{微}\text{(40)}& & (2)\mathrm{若}f\mathrm{于}(x_0,y_0)\mathrm{可}\mathrm{微},\mathrm{则}lim\frac{\mathrm{\Delta }f-df}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}=0\end{array}$$

定理2

$$\begin{array}{}\text{(41)}& & \mathrm{若}z=f(x,y)\mathrm{在}\mathrm{点}{P}_0(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微},\mathrm{则}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{且}dz{|}_{(x_0,y_0)}=f_x^{\prime }(x_0,y_0)dx+f_y^{\prime }(x_0,y_0)dy\end{array}$$

定理3 几个命题之间的关系

$$\begin{array}{}\text{(42)}& & \mathrm{可}\mathrm{微}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& \mathrm{连}\mathrm{续}\Rightarrow \mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{存}\mathrm{在}\\ & \mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\\ & \mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}\end{array}$$

二元函数可微与偏导的联系 - blueflylabor - 博客园 (cnblogs.com)

例题

注解：

$$\begin{array}{}\text{(43)}& & \mathrm{可}\mathrm{微}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}\iff \mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{微}\end{array}$$

第二节 多元函数微分法

初等函数的微分法

注解：

$$\begin{array}{}\text{(44)}& & (1)\mathrm{对}x\mathrm{把}y\mathrm{看}\mathrm{做}\mathrm{常}\mathrm{数}，\mathrm{对}y\mathrm{把}x\mathrm{看}\mathrm{成}\mathrm{常}\mathrm{数}\text{(45)}& & (2)u\{\begin{array}{ll}& u_x^{\prime }\{\begin{array}{ll}& u_{xx}^{″}\\ & u_{xy}^{″}\end{array}\\ & u_y^{\prime }\{\begin{array}{ll}& u_{yx}^{″}\\ & u_{yy}^{″}\end{array}\end{array}\mathrm{当}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{时},u_{xy}^{″}=u_{yx}^{″}\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(46)}& & 1.\mathrm{设}z=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}，\mathrm{求}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\text{(47)}& & \mathrm{解}\text{(48)}& & z_x^{\prime }=\frac{|y|}{x^2+y^2}\text{(49)}& & z_{xx}^{″}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{|y|}{x^2+y^2})=\{\begin{array}{ll}& \frac{-2xy}{(x^2+y^2{)}^2},y0\\ & 0,x\ne 0,y=0\\ & \frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2},y0\end{array}\text{(50)}& & z_{xy}^{″}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{|y|}{x^2+y^2})=\{\begin{array}{ll}& \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2},y0\\ & \mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在},x\ne 0,y=0\\ & \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2},y<0\end{array}\end{array}$$

复合函数微分法

$$\begin{array}{}\text{(51)}& & \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{x^2}f(xy)+\frac{1}{x}{f}^{\prime }(xy)y+y{\varphi }^{\prime }(x+y)\text{(52)}& & \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }(xy)x+\frac{1}{x}[f^{″}(xy)xy+f^{\prime }(xy)]+{\varphi }^{\prime }(x+y)+y{\varphi }^{″}(x+y)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(53)}& & \mathrm{法}1：\text{(54)}& & \frac{\partial f}{\partial x}=e^{-(xy{)}^2}y-e^{-(x+y{)}^2}\text{(55)}& & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\text{(56)}& & \mathrm{法}2：\text{(57)}& & \mathrm{令}u=x+y,v=xy,f(x,y)\mathrm{由}{\int }_v^u{e}^{-t^2}dt\mathrm{与}\{\begin{array}{ll}& u=x+y\\ & v=xy\end{array}\mathrm{复}\mathrm{合}\text{(58)}& & \frac{\partial f}{\partial x}=e^{-(v{)}^2}\frac{\partial u}{\partial x}-e^{-(u{)}^2}\frac{\partial v}{\partial x}\text{(59)}& & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\end{array}$$

多元隐函数的微分法

例题：

$$\begin{array}{}\text{(60)}& & \mathrm{法}1:\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{法}\text{(61)}& & F(x,y,u)=u+e^u-xy,u_x^{\prime }=\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_x^{\prime }}=-\frac{-y}{1+e^u}\text{(62)}& & \mathrm{法}2:\text{(63)}& & u_x^{\prime }+e^u{u}_x^{\prime }=y,u_x^{\prime }=\frac{y}{1+e^u},u_y^{\prime }=\frac{x}{1+e^u}\text{(64)}& & \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{1\ast [1+e^u]-y\ast e^u\ast u_y^{\prime }}{[1+e^u{]}^2}\end{array}$$

多元函数的极值与最值求法

无条件极值（二元）

$$\begin{array}{}\text{(65)}& & (1)\mathrm{定}\mathrm{义}\text{(66)}& & (2)\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}\{\begin{array}{ll}& z_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ & z_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}\text{(67)}& & (3)\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{\Delta }=AC-B^2\{\begin{array}{ll}& 0\\ & <0\end{array}\text{(68)}& & A=f_{xx}^{″}(x_0,y_0),B=f_{xy}^{″}(x_0,y_0),C=f_{yy}^{″}(x_0,y_0)\end{array}$$

有界闭区域

$$\begin{array}{}\text{(69)}& & \mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{域}D\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{值}：\text{(70)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x,y)\mathrm{在}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{域}D\subset R^2\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{则}f(x,y)\mathrm{必}\mathrm{在}D\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\end{array}$$

解题步骤

例题：