高等数学·泰勒公式

泰勒公式

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

整体思想：用多项式函数逼近目标函数近似替代

以下推导为皮亚诺型余项的泰勒公式

1.泰勒公式的推导

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$$(1)Sinx$$

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首先对f(x)=Sinx进行n阶求导可以发先规律

$$Sinx\to Cosx\to -Sinx\to -Cosx$$

用多项式函数近似代替

$$g(x)=\sum _{i=0}^n{a}_0{x}^i$$

得到如下推导

$$\begin{array}{}\text{(1)}& g^{(0)}(x)& =Sinx=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+...+a_n{x}^n\text{(2)}& g^{(1)}(x)& =Cosx=a_1{x}^0+2a_2{x}^1+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+...+a_n{x}^n\text{(3)}& g^{(2)}(x)& =-Sinx=2\ast 1a_2{x}^0+3\ast 2a_3{x}^1+4\ast 3a_4{x}^2+5\ast 4a_5{x}^3+...+a_n{x}^n\text{(4)}& g^{(3)}(x)& =-Cosx=3\ast 2\ast 1a_3{x}^0+4\ast 3\ast 2a_4{x}^1+5\ast 4\ast 3a_5{x}^2+...+a_n{x}^n\text{(5)}& g^{(4)}(x)& =Sinx=4\ast 3\ast 2\ast 1a_4{x}^0+5\ast 4\ast 3\ast 2a_5{x}^1+...+a_n{x}^n\text{(6)}& g^{(5)}(x)& =Cosx=5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1a_5{x}^0+...+a_n{x}^n\end{array}$$

当x=0时：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& 0& =a_0\text{(8)}& +1& =1\ast a_1\text{(9)}& 0& =2\ast 1\ast a_2\text{(10)}& -1& =3\ast 2\ast 1\ast a_3\text{(11)}& 0& =4\ast 3\ast 2\ast 1a_4\text{(12)}& +1& =5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1\ast a_5\end{array}$$

归纳得：

$$a_k=\{\begin{array}{ll}0& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}0\\ \frac{1}{k!}& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}1\\ 0& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}2\\ \frac{-1}{k!}& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}3\end{array}$$

可以得出

$$Sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1!}+o(x^{2x-1})$$

根据上述思想和推到方法可以对其他基本初等函数进行泰勒展开

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$$(2)e^x$$

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发现求导规律：

$$e^x\to e^x\to e^x\to e^x$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& g^{(0)}(x)& =e^x=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+...+a_n{x}^n\text{(14)}& g^{(1)}(x)& =e^x=a_1{x}^0+2a_2{x}^1+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+...+a_n{x}^n\text{(15)}& g^{(2)}(x)& =e^x=2\ast 1a_2{x}^0+3\ast 2a_3{x}^1+4\ast 3a_4{x}^2+5\ast 4a_5{x}^3+...+a_n{x}^n\end{array}$$

当x=0时：

$$\begin{array}{}\text{(16)}& 1& =a_0\text{(17)}& 1& =1\ast a_1\text{(18)}& 1& =2\ast 1\ast a_2\end{array}$$

归纳得

$$\begin{array}{}\text{(19)}& a_k=\frac{1}{k!}\end{array}$$

可以得出

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

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$$(3)ln(1+x)$$

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发现求导规律：

$$ln(1+x)\to (1+x{)}^{-1}\to (-1)(1+x{)}^{-2}\to (-2)(1+x{)}^{-3}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& g^{(0)}(x)& =ln(1+x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+...+a_n{x}^n\text{(21)}& g^{(1)}(x)& =(1+x{)}^{-1}=a_1{x}^0+2a_2{x}^1+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+...+a_n{x}^n\text{(22)}& g^{(2)}(x)& =(-1)(1+x{)}^{-2}=2\ast 1a_2{x}^0+3\ast 2a_3{x}^1+4\ast 3a_4{x}^2+5\ast 4a_5{x}^3+...+a_n{x}^n\text{(23)}& g^{(3)}(x)& =(-1{)}^2(1+x{)}^{-3}=3\ast 2\ast 1a_3{x}^0+4\ast 3\ast 2a_4{x}^1+5\ast 4\ast 3a_5{x}^2+...+a_n{x}^n\text{(24)}& g^{(4)}(x)& =(-1{)}^3(1+x{)}^{-4}=4\ast 3\ast 2\ast 1a_4{x}^0+5\ast 4\ast 3\ast 2a_5{x}^1+...+a_n{x}^n\text{(25)}& g^{(5)}(x)& =(-1{)}^4(1+x{)}^{-5}=5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1a_5{x}^0+...+a_n{x}^n\end{array}$$

当x=0时：

$$\begin{array}{}\text{(26)}& 0& =a_0\text{(27)}& 1& =1\ast a_1\text{(28)}& -1& =2\ast 1\ast a_2\text{(29)}& 1& =3\ast 2\ast 1\ast a_3\text{(30)}& -1& =4\ast 3\ast 2\ast 1\ast a_4\text{(31)}& 1& =5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1\ast a_5\end{array}$$

归纳得

$$\begin{array}{}\text{(32)}& a_k=\frac{(-1{)}^{k-1}}{k!}\end{array}$$

可以得出

$$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n!}+o(x^n)$$

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$$(4)Cosx$$

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发现求导规律：

$$Cosx\to -Sinx\to -Cosx\to Sinx\to Cosx$$

$$\begin{array}{}\text{(33)}& g^{(0)}(x)& =Cosx=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+...+a_n{x}^n\text{(34)}& g^{(1)}(x)& =-Sinx=a_1{x}^0+2a_2{x}^1+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+...+a_n{x}^n\text{(35)}& g^{(2)}(x)& =-Cosx=2\ast 1a_2{x}^0+3\ast 2a_3{x}^1+4\ast 3a_4{x}^2+5\ast 4a_5{x}^3+...+a_n{x}^n\text{(36)}& g^{(3)}(x)& =Sinx=3\ast 2\ast 1a_3{x}^0+4\ast 3\ast 2a_4{x}^1+5\ast 4\ast 3a_5{x}^2+...+a_n{x}^n\text{(37)}& g^{(4)}(x)& =Cosx=4\ast 3\ast 2\ast 1a_4{x}^0+5\ast 4\ast 3\ast 2a_5{x}^1+...+a_n{x}^n\text{(38)}& g^{(5)}(x)& =Sinx=5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1a_5{x}^0+...+a_n{x}^n\end{array}$$

当x=0时：

$$\begin{array}{}\text{(39)}& 1& =a_0\text{(40)}& 0& =1\ast a_1\text{(41)}& -1& =2\ast 1\ast a_2\text{(42)}& 0& =3\ast 2\ast 1\ast a_3\text{(43)}& 1& =4\ast 3\ast 2\ast 1\ast a_4\text{(44)}& 0& =5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1\ast a_5\end{array}$$

归纳得

$$a_k=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{k!}& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}0\\ 0& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}1\\ \frac{-1}{k!}& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}2\\ 0& \mathrm{除}\mathrm{以}\mathrm{四}\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{为}3\end{array}$$

可以得出

$$Cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n})$$

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$$(5)(1+x{)}^a$$

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发现求导规律：

$$(1+x{)}^a\to a(1+x{)}^{a-1}\to a(a-1)(1+x{)}^{a-2}\to a(a-1)(a-2)(1+x{)}^{a-3}$$

$$\begin{array}{}\text{(45)}& g^{(0)}(x)& =(1+x{)}^a=a_0{x}^0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+...+a_n{x}^n\text{(46)}& g^{(1)}(x)& =a(1+x{)}^{a-1}=a_1{x}^0+2a_2{x}^1+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3+5a_5{x}^4+...+a_n{x}^n\text{(47)}& g^{(2)}(x)& =a(a-1)(1+x{)}^{a-2}=2\ast 1a_2{x}^0+3\ast 2a_3{x}^1+4\ast 3a_4{x}^2+5\ast 4a_5{x}^3+...+a_n{x}^n\text{(48)}& g^{(3)}(x)& =a(a-1)(a-2)(1+x{)}^{a-3}=3\ast 2\ast 1a_3{x}^0+4\ast 3\ast 2a_4{x}^1+5\ast 4\ast 3a_5{x}^2+...+a_n{x}^n\end{array}$$

当x=0时：

$$\begin{array}{}\text{(49)}& & 1=a_0\text{(50)}& & a=1\ast a_1\text{(51)}& & a(a-1)=2\ast 1\ast a_2\text{(52)}& & a(a-1)(a-2)=3\ast 2\ast 1\ast a_3\end{array}$$

归纳得

$$a_k=\frac{a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}$$

可以得出

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2!}+\frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)x^n}{n!}+o(x^n)$$

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2.皮亚诺与拉格朗日型余项

（1)皮亚诺型余项泰勒公式

$$\begin{array}{}\text{(53)}& & \mathrm{如}\mathrm{果}f(x)\mathrm{在}\mathrm{点}{x}_0\mathrm{有}\mathrm{直}\mathrm{至}n\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{则}\mathrm{有}\text{(54)}& & f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o[(x-x_0{)}^n]\text{(55)}& & x_0=0\mathrm{时}，\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{麦}\mathrm{克}\mathrm{劳}\mathrm{林}\mathrm{公}\mathrm{式}\text{(56)}& & f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{″}(0)x^2+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(0)x^n+o(x^n)\end{array}$$

(2)拉格朗日余项泰勒公式

$$\begin{array}{}\text{(57)}& & \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{含}\mathrm{有}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{开}\mathrm{区}\mathrm{间}(a,b)\mathrm{内}\mathrm{有}n+1\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{导}\mathrm{数}，\mathrm{则}\mathrm{当}x\in (a,b)\mathrm{时}\mathrm{有}\text{(58)}& & f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+R_n(x)\text{(59)}& & \mathrm{其}\mathrm{中}{R}_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)},\mathrm{这}\mathrm{里}\xi \mathrm{介}\mathrm{于}{x}_0\mathrm{与}x\mathrm{之}\mathrm{间}，\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{拉}\mathrm{格}\mathrm{朗}\mathrm{日}\mathrm{余}\mathrm{项}\end{array}$$

(3)区别

1、描述对象区别：

拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体

$$\mathrm{拉}\mathrm{格}\mathrm{朗}\mathrm{日}\mathrm{余}\mathrm{项}(\mathrm{整}\mathrm{体})\to \{\begin{array}{l}\mathrm{最}\mathrm{值}\\ \mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\end{array}$$

皮亚诺余项的泰勒公式描述局部

$$\mathrm{皮}\mathrm{亚}\mathrm{诺}\mathrm{余}\mathrm{项}(\mathrm{整}\mathrm{体})\to \{\begin{array}{l}\mathrm{极}\mathrm{限}\\ \mathrm{极}\mathrm{值}\end{array}$$

2、表达式区别：

其中拉格朗日余项使用的是具体表达式，为某个n+1阶导数乘以（x-x0)的(n+1)次方

皮亚诺型余项没有具体表达式只是一个高阶无穷小 Rn(x)=0((x-x0)的n次方)

3、公式计算方式的区别

麦克劳林公式是泰勒公式中（在a=0 ,记ξ=θX）的一种特殊形式;

皮亚诺型余项为Rn(x) = o(x^n)；

因此再展开时候只需根据要求