高等数学·向量代数与空间解析几何

第四章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及向量代数

定义1：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & (1)\mathrm{向}\mathrm{量}:\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=\{x,y,z\}\text{(2)}& & (2)\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{模}:|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{(3)}& & (3)\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{向}\mathrm{量}:|\overrightarrow{a}|=1,\overrightarrow{a}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\text{(4)}& & (4)\mathrm{向}\mathrm{量}\overrightarrow{a}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{余}\mathrm{弦}(\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{数}):\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{角}\alpha ,\beta ,\gamma \in [0,\pi ]\text{(5)}& & \overrightarrow{a}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\end{array}$$

定理1：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& & \mathrm{设}A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3)\in R^3,\mathrm{则}\overrightarrow{AB}=\{b_1,b_2,b_3\}-\{a_1,a_2,a_3\}=\{b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3\}\end{array}$$

定义2

$$\begin{array}{}\text{(7)}& & (1)\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{运}\mathrm{算}:\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\text{(8)}& & \lambda \overrightarrow{a}=\{\begin{array}{ll}& |\lambda \overrightarrow{a}|\overrightarrow{a},\lambda 0,\mathrm{即}\mathrm{与}\overrightarrow{a}\mathrm{同}\mathrm{向}\\ & \overrightarrow{0},\lambda =0,\mathrm{即}\mathrm{为}\mathrm{零}\mathrm{向}\mathrm{量}\\ & -|\lambda \overrightarrow{a}|\overrightarrow{a},\lambda <0,\mathrm{即}\mathrm{与}\overrightarrow{a}\mathrm{反}\mathrm{向}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& & (2)\mathrm{数}\mathrm{积}(\mathrm{内}\mathrm{积},\mathrm{点}\mathrm{积}):\mathrm{数}\mathrm{积}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}\text{(10)}& & \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \text{(11)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\mathrm{判}\mathrm{定}\mathrm{垂}\mathrm{直}\text{(12)}& & (3)\mathrm{矢}\mathrm{积}(\mathrm{外}\mathrm{积},\mathrm{叉}\mathrm{积}):\mathrm{矢}\mathrm{积}\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{向}\mathrm{量},\mathrm{满}\mathrm{足}:\text{(13)}& & [1]|\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta \text{(14)}& & [2]\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}\mathrm{和}\overrightarrow{b},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{和}\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{右}\mathrm{手}\mathrm{法}\mathrm{则}\text{(15)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}：\text{(16)}& & 1)\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{平}\mathrm{行}\text{(17)}& & 2)|\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b}|\mathrm{的}\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}：\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& & (4)\mathrm{混}\mathrm{合}\mathrm{积}:[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]\stackrel{\mathrm{\Delta }}{=}(\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{a}\ast \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b}\ast \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}\text{(19)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}:[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]\mathrm{的}\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{是}\mathrm{体}\mathrm{积}\end{array}$$

定理 2

$$\begin{array}{}\text{(20)}& & \mathrm{设}\overrightarrow{a}=\{a_1,a_2,a_3\},\overrightarrow{b}=\{b_1,b_2,b_3\}\text{(21)}& & \mathrm{则}\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}=\{\lambda a_1+\mu b_1,\lambda a_2+\mu b_2,\lambda a_3+\mu b_3\}\end{array}$$

定理 3

定理 4

定理 5

定理 6

例题

$$\begin{array}{}\text{(22)}& & \mathrm{解}：\text{(23)}& & (a,b,c)\mathrm{表}\mathrm{示}a,b,c\mathrm{的}\mathrm{混}\mathrm{合}\mathrm{积},\mathrm{即}(a,b,c)=(aXb)..c.\mathrm{且}(aXb)..c=(bXc)..a=(cXa)..b\text{(24)}& & \mathrm{混}\mathrm{合}\mathrm{积}\mathrm{几}\mathrm{何}\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{为}\mathrm{三}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{围}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{体}\mathrm{积}\text{(25)}& & AXB\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{尊}\mathrm{崇}\mathrm{右}\mathrm{手}\mathrm{定}\mathrm{则}\mathrm{值}\mathrm{为}ABsinA..B=ABcos\text{(26)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}(a+b)X(b+c)=aXb+aXc+bXb+bXc=aXb+aXc+bXc\text{(27)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}(a+b)X(b+c)..(c+a)=(aXb+aXc+bXc)..(c+a)=(a,b,c)+(a,b,a)+(a,c,c)+(a,c,a)+(b,c,c)+(b,c,a).\text{(28)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}(aXb)\mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{于}a\text{(29)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}(a,b,a)=(aXb)\ast a=0,\text{(30)}& & \mathrm{同}\mathrm{理},(a,c,c)=(a,c,a)=(b,c,c)=0.\text{(31)}& & \mathrm{又}\mathrm{因}\mathrm{为}(a,b,c)=2,\text{(32)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}(b,c,a)=(a,b,c)=2.\text{(33)}& & \mathrm{所}\mathrm{以}(a+b)x(b+c)..(c+a)=4.\end{array}$$

第二节 平面与直线

平面

点法式方程

$$\begin{array}{}\text{(34)}& & \overrightarrow{p_{0}p}\cdot \overrightarrow{n}=0\text{(35)}& & \iff a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\text{(36)}& & \overrightarrow{n}=a,b,c\ne 0\mathrm{为}\mathrm{法}\mathrm{向}\mathrm{量},P_0(x_0,y_0,z_0)\mathrm{为}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{点}\end{array}$$

一般式方程

$$\begin{array}{}\text{(37)}& & ax+by+cz+d=0,\overrightarrow{n}=\{a,b,c\}\ne 0\mathrm{为}\mathrm{法}\mathrm{向}\mathrm{量}\end{array}$$

注解：

截距式方程

$$\begin{array}{}\text{(38)}& & \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{(39)}& & a,b,c\mathrm{为}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{在}\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{轴}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{截}\mathrm{距}\text{(40)}& & \mathrm{注}\mathrm{解}:\mathrm{截}\mathrm{距}\mathrm{式}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{只}\mathrm{能}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{和}\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{轴}\mathrm{都}\mathrm{相}\mathrm{交}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{面}\end{array}$$

点到面的距离

$$\begin{array}{}\text{(41)}& & \mathrm{点}{P}_0(x_0,y_0,z_0)\mathrm{到}\mathrm{平}\mathrm{面}ax+by+cz+d=0\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\text{(42)}& & \rho =\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$$

两平面夹角（法向量夹角）

$$\begin{array}{}\text{(43)}& & cos\theta =\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}\end{array}$$

平面与平面的位置关系

直线

标准式方程（点向式）

$$\begin{array}{}\text{(44)}& & \overrightarrow{p}//\overrightarrow{p_{0}p}\text{(45)}& & \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\text{(46)}& & \mathrm{其}\mathrm{中}{P}_0(x_0,y_0,z_0)\mathrm{为}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{上}\mathrm{一}\mathrm{点},\overrightarrow{L}=\{l,m,n\}\ne 0\mathrm{为}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{向}\mathrm{量}\end{array}$$

一般式方程

参数式方程

点到直线的距离

两直线夹角

直线与直线的位置

直线与平面的位置关系

基本方法