高等数学·微分方程

微分方程

一、常微分方程的基本概念

1.微分方程

$$y^{\prime }=2x$$

含有未知函数的导数或微分的方程

2.微分方程的阶

$$1\mathrm{阶}\mathrm{方}\mathrm{程}$$

微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数

3.微分方程的解

$$y=f(x)=x^2$$

满足微分方程的函数

4.微分方程的通解

$$y=f(x)=x^2+c$$

如果微分方程的解中包含任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同

5.微分方程的特解

$$y=f(x)=x^2+1$$

微分方程的不含任意常数的解

6. 初始条件

确定特解的一组常数

7.积分曲线

方程的一个解在平面上对应一条曲线

二、一阶微分方程 y'=f(x,y)

1.可分离变量的方程

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & y^{\prime }=f(x)g(y)\iff \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\iff \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\text{(2)}& & \mathrm{求}\mathrm{解}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{对}\mathrm{两}\mathrm{端}\mathrm{积}\mathrm{分}\iff \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx\end{array}$$

2.齐次微分方程

$$\begin{array}{}\text{(3)}& & \frac{dy}{dx}=\mathrm{\Phi }(\frac{y}{x})\text{(4)}& & \mathrm{方}\mathrm{法}：\mathrm{令}u=\frac{y}{x},y=ux,y^{\prime }=u+u^{\prime }x\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{}\text{(5)}& & y^{\prime }+\frac{y}{x}=(\frac{y}{x}{)}^2\text{(6)}& & \mathrm{令}u=\frac{y}{x},y=ux,y^{\prime }=u+u^{\prime }x\text{(7)}& & \iff u+u^{\prime }x+u=u^2\text{(8)}& & \iff u+\frac{du}{dx}x+u=u^2\text{(9)}& & \iff \frac{du}{u^2-2u}=\frac{1}{x}dx\text{(10)}& & \iff \int \frac{du}{u^2-2u}=\int \frac{1}{x}dx\text{(11)}& & \iff \frac{1}{2}(\ln |u-2|-\ln |u|)=\ln |x|+C\text{(12)}& & \iff \frac{u-2}{u}=C{x}^2\end{array}$$

3.一阶线性微分方程

$$\begin{array}{}\text{(13)}& & \mathrm{形}\mathrm{如}{y}^{\prime }+p(x)y=Q(x)\text{(14)}& & \mathrm{通}\mathrm{解}：y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}+C]\end{array}$$

4.伯努利方程

$$\begin{array}{}\text{(15)}& & \mathrm{形}\mathrm{如}{y}^{\prime }+p(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)\text{(16)}& & \mathrm{方}\mathrm{法}：\mathrm{令}u=y^{1-n}\text{(17)}& & y^{-\alpha }{y}^{\prime }+p(x)y^{1-\alpha }=Q(x)\text{(18)}& & \mathrm{令}u=y^{1-\alpha }\text{(19)}& & (1-\alpha )y^{-\alpha }{y}^{\prime }=\frac{du}{dx}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& & \mathrm{观}\mathrm{察}\mathrm{到}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{包}\mathrm{含}{y}^{″}\mathrm{和}{y}^{\prime }\mathrm{和}y,\mathrm{该}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}{y}^{″}=f(y,y^{\prime })\mathrm{型}\text{(21)}& & \mathrm{令}{y}^{\prime }=p,y^{″}=p\frac{dp}{dy}\text{(22)}& & \mathrm{得}yp\frac{dp}{dy}+p^2=0\text{(23)}& & \iff y\frac{dp}{dy}+p=0\text{(24)}& & \mathrm{当}p=0\mathrm{时},\mathrm{该}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{成}\mathrm{立},\mathrm{但}\mathrm{跟}\mathrm{据}\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{条}\mathrm{件}y{|}_{x=0}=1\text{(25)}& & \mathrm{即}p=1\mathrm{与}\mathrm{其}\mathrm{不}\mathrm{符}\text{(26)}& & \iff \int \frac{dp}{p}=-\int \frac{dy}{y}\text{(27)}& & \iff |py|=e^c\text{(28)}& & \iff p=\frac{c}{y}\text{(29)}& & \iff \frac{dy}{dx}=\frac{c}{y}\text{(30)}& & \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{条}\mathrm{件}{y}^{\prime }{|}_{x=0}=\frac{1}{2}\iff c=\frac{1}{2}\text{(31)}& & \iff y^2=x+c\text{(32)}& & \mathrm{跟}\mathrm{据}\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{条}\mathrm{件}y{|}_{x=0}=1,y^2=x+1\text{(33)}& & \mathrm{又}y{|}_{x=0}=10,y=\sqrt{x+1}\end{array}$$

##### 5.全微分方程

三、可降阶的高阶方程

$$\begin{array}{}\text{(34)}& & y^{\prime }=p=\frac{dy}{dx},y^{″}=\frac{dp}{dx}\text{(35)}& & y^{″}=f(x,y^{\prime })\iff \frac{dp}{dx}=f(x,p)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(36)}& & x\frac{dp}{dx}+3p=0\text{(37)}& & \int \frac{1}{p}dp=-\frac{1}{3}\int \frac{1}{x}dx\text{(38)}& & p=\frac{c}{x^3}\text{(39)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{c}{x^3}\text{(40)}& & y=\frac{c_2}{x^2}+c_1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(41)}& & y^{\prime }=p=\frac{dy}{dx},y^{″}=\frac{dp}{dx}\text{(42)}& & \mathrm{可}\mathrm{得}\frac{dp}{dy}=f(y,p)\mathrm{无}\mathrm{解}\text{(43)}& & \mathrm{令}{y}^{\prime }=p=\frac{dy}{dx},y^{″}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}p\text{(44)}& & \mathrm{得}\frac{dp}{dx}p=f(y,y^{\prime })\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(45)}& & y\frac{dp}{dy}p+p^2=0\text{(46)}& & \int \frac{dp}{p}=-\int \frac{dy}{y}\text{(47)}& & py=c\text{(48)}& & p=\frac{c}{y}\text{(49)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{c}{y}\text{(50)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}{y}^{\prime }{|}_{x=0}=\frac{1}{2}\text{(51)}& & \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{2}}{y}\text{(52)}& & y^2=x+c\text{(53)}& & \mathrm{因}\mathrm{为}y{|}_{x=0}=1\text{(54)}& & y=\sqrt{x+1}\end{array}$$

四、高阶线性微分方程

$$\begin{array}{}\text{(55)}& & y^{″}+p{y}^{\prime }+qy\iff r^2+pr+q=0\text{(56)}& & \mathrm{共}\mathrm{轭}\mathrm{复}\mathrm{根}\mathrm{求}\mathrm{法}：x_1,x_2=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}(i^2=-1)\text{(57)}& & \mathrm{例}：y=x{e}^x\mathrm{是}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0\mathrm{的}\mathrm{解}，\text{(58)}& & (r-1{)}^2=0\text{(59)}& & r^2-2r+1=0\text{(60)}& & p=-2,q=1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(61)}& & r^2-r+\frac{1}{4}=0\text{(62)}& & (r-\frac{1}{2}{)}^2=0\text{(63)}& & r_1=r_2=\frac{1}{2}\text{(64)}& & y=e^{\frac{1}{2}x}(C_1+C_{2}x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(65)}& & r^2+2r+5=0\text{(66)}& & r_{1,2}=\frac{-2\pm i\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm 2i\text{(67)}& & y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(68)}& & r^3-2r^2+r-2=0\text{(69)}& & r^2(r-2)+r-2=0\text{(70)}& & (r-2)(r^2+1)=0\text{(71)}& & r_1=2,r_{2,3}=\pm i\text{(72)}& & y=C_1{e}^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(73)}& & \mathrm{解}\mathrm{法}\mathrm{核}\mathrm{心}：\mathrm{找}\mathrm{到}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{特}\mathrm{解}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(74)}& & D=\frac{d}{dt}\text{(75)}& & \mathrm{令}x=e^t\mathrm{或}t=\ln x,t^{\prime }=\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\text{(76)}& & y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\text{(77)}& & x{y}^{\prime }=\frac{dy}{dt}=Dy\text{(78)}& & y^{″}=(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}{)}^{\prime }=(\frac{dy}{dt}{)}^{\prime }\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{dt}{dx}\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}=D(D-1)y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(79)}& & D(D-1)y+4D+2y=0\text{(80)}& & r^2-r+4r+2=0\text{(81)}& & (r+1)(r+2)=0\text{(82)}& & y=C_1{e}^{-t}+C_2{e}^{-2t}\text{(83)}& & y=\frac{C_1}{x}+\frac{C_2}{x^2}\end{array}$$

例题

1.

$$\begin{array}{}\text{(84)}& & \mathrm{若}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{常}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}{y}^{″}+a{y}^{\prime }+by=0\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{解}\mathrm{为}y=(C_1+C_{2}x)e^x,\text{(85)}& & \mathrm{则}\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}{y}^{″}+a{y}^{\prime }+by=x\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}y(0)=2,y^{\prime }(0)=0\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{解}\mathrm{为}？\text{(86)}& & \mathrm{解}：\text{(87)}& & \mathrm{由}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{解}\mathrm{可}\mathrm{知}r=1\mathrm{是}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{根}，\text{(88)}& & \mathrm{则}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}(r-1{)}^2=0,r^2-2r+1=0\text{(89)}& & \mathrm{可}\mathrm{得}a=-2,b=1\text{(90)}& & \mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}{y}^{″}-2y^{\prime }+y=x,\mathrm{即}x=e^{0x}x,\mathrm{解}\mathrm{为}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{解}y\ast =a^{\prime }x+b^{\prime }\text{(91)}& & \mathrm{带}\mathrm{入}\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{得}0-2a^{\prime }+a^{\prime }x+b^{\prime }=0\text{(92)}& & a^{\prime }=1,b^{\prime }=2\text{(93)}& & \mathrm{则}\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{解}\mathrm{为}y=(C_1+C_{2}x)e^x+x+2\text{(94)}& & \mathrm{根}\mathrm{据}y(0)=2,y^{\prime }(0)=0,\mathrm{得}\mathrm{到}y=x(1-e^x)+2\end{array}$$

2.

$$\begin{array}{}\text{(95)}& & \mathrm{设}y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(x-\frac{1}{3})e^x\mathrm{是}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{常}\mathrm{系}\mathrm{数}\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}\text{(96)}& & y^{″}+a{y}^{\prime }+by=c{e}^x\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{特}\mathrm{解},\mathrm{则}a,b,c\mathrm{各}\mathrm{为}\mathrm{多}\mathrm{少}？\text{(97)}& & \mathrm{解}：\text{(98)}& & y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+x{e}^x-\frac{1}{3}{e}^x\mathrm{对}\mathrm{应}y=a{y}_1+b{y}_2+y^{\ast }\text{(99)}& & \mathrm{可}\mathrm{知}r=2,r=1\mathrm{是}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{无}\mathrm{关}\mathrm{解}\text{(100)}& & \mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{为}(r-1)(r-2)=0,r^2-3r+2=0\text{(101)}& & a=-3,b=2,y^{″}-3y^{\prime }+2y=c{e}^x,\mathrm{将}\mathrm{非}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{解}\mathrm{带}\mathrm{入}\text{(102)}& & \{\begin{array}{ll}& y^{\prime }=e^x+x{e}^x\\ & y^{″}=2e^x+x{e}^x\end{array}\text{(103)}& & \mathrm{得}c=-1\text{(104)}& & a,b,c=-3,2,-1\end{array}$$